Lösning 4.2.1.c
Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
Samuel (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: Skriv <math>x^n=x\cdot x^{n-1}.</math> Vi får <math>D(x^n)= D(x\cdot x^{n-1}) = D(x)\cdot x^{n-1} + xD(\cdot x^{n-1})= 1\cdot x^{n-1} + x(n-1)x^{n-2} = nx^{n-1}.</math> c) Till att börj...)
Gå till nästa ändring →
Nuvarande version
Skriv \displaystyle x^n=x\cdot x^{n-1}. Vi får \displaystyle D(x^n)= D(x\cdot x^{n-1}) = D(x)\cdot x^{n-1} + xD(\cdot x^{n-1})= 1\cdot x^{n-1} + x(n-1)x^{n-2} = nx^{n-1}. c) Till att börja med vet vi att \displaystyle D(x^1) =1. Deluppgift b) säger då att \displaystyle D(x^2)=2x. Det var alltså det vi visade i a). Om vi använder b) igen får vi \displaystyle D(x^3)=3x^2 och ytterligare en gång \displaystyle D(x^4)=4x^3. Vi ser att det går att fortsätta såhär så länge vi vill och vi ser då att \displaystyle D(x^n)= nx^{n-1}. Denna bevismetod kallas induktion.
