Förberedande kurs i matematik

Versionen från 9 augusti 2012 kl. 13.16 (redigera) Samuel (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 9 augusti 2012 kl. 13.42 (redigera) (ogör) Samuel (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 156:		Rad 156:
	</center>		</center>
-		+	<ol type="a">
-	a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.	+	<li>Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.</li>
-		+	<li>Ge en korrekt lösning.</li>
-	b) Ge en korrekt lösning.	+	</ol>
	===Inlämningsuppgift 3.2:2===		===Inlämningsuppgift 3.2:2===
Rad 172:		Rad 172:
	</center>		</center>
-		+	<ol type="a">
-	a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.	+	<li>Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.</li>
-		+	<li>Ge en korrekt lösning.</li>
-	b) Ge en korrekt lösning.	+	</ol>
	===Inlämningsuppgift 3.2:3===		===Inlämningsuppgift 3.2:3===
Rad 188:		Rad 188:
	</center>		</center>
-		+	<ol type="a">
-	a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.	+	<li>Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.</li>
-		+	<li>Ge en korrekt lösning.</li>
-	b) Ge en korrekt lösning.	+	</ol>
	===Inlämningsuppgift 3.2:4===		===Inlämningsuppgift 3.2:4===
Rad 204:		Rad 204:
	</center>		</center>
-		+	<ol type="a">
-	a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.	+	<li> Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.</li>
-		+	<li>Ge en korrekt lösning.</li>
-	b) Ge en korrekt lösning.	+	</ol>
-		+
	===Inlämningsuppgift 5:1===		===Inlämningsuppgift 5:1===
	'''Decimalutvecklingar och positionssystem'''		'''Decimalutvecklingar och positionssystem'''
-	1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen 1/12, 1/22, 1/82, 1/33?	+	1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen <math>1/12</math>, <math>1/22</math>, <math>1/82</math>, <math>1/33</math>?
-	2. Skriv decimaltalet 0.46454545... som en kvot mellan två heltal.	+	2. Skriv decimaltalet <math>0,46454545</math>... som en kvot mellan två heltal. Förklara tydligt hur du gör och visa dina beräkningar.
	3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.		3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.
Rad 221:		Rad 220:
	4. Utför följande baskonverteringar:		4. Utför följande baskonverteringar:
-	3030 i bas 6 till bas 10.	+	<ol type="a">
		+	<li><math>3030</math> i bas <math>6</math> till bas <math>10</math>.</li>
		+	<li><math>3030</math> i bas <math>10</math> till bas <math>6</math>.</li>
		+	<li><math>3,030</math> i bas <math>6</math> till bas <math>10</math>.</li>
		+	</ol>
-	3030 i bas 10 till bas 6.	+	Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.
-	5. Utför följande beräkningar i den givna basen och svara med samma bas som talen är skrivna i.	+	5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas <math>10</math>. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.
-	121 - 22 i bas 3	+	<ol type="a">
-		+	<li><math>321 + 2300</math> i bas <math>4</math></li>
-	11*21 i bas 3	+	<li><math>11\cdot 21</math> i bas <math>3</math></li>
		+	<li><math>121 - 22</math> i bas <math>5</math></li>
		+	</ol>
	6.		6.
Rad 258:		Rad 263:
	'''Decimalutvecklingar och positionssystem'''		'''Decimalutvecklingar och positionssystem'''
-	1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen 1/35, 1/7, 1/44, 1/60?	+	1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen <math>1/35</math>, <math>1/7</math>, <math>1/44</math>, <math>1/60</math>?
-	2. Skriv decimaltalet 0.16666... som en kvot mellan två heltal.	+	2. Skriv decimaltalet <math>0,16666...</math> som en kvot mellan två heltal.
-	3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.	+	3. Utför följande baskonverteringar:
-		+
-	4. Utför följande baskonverteringar:	+
-	4242 i bas 7 till bas 10.	+	<ol type="a">
		+	<li><math>4242</math> i bas <math>7</math> till bas <math>10</math>.</li>
		+	<li><math>4242</math> i bas <math>10</math> till bas <math>7</math>.</li>
		+	<li><math>4,242</math> i bas <math>7</math> till bas <math>10</math>.</li>
		+	</ol>
-	4242 i bas 10 till bas 7.	+	Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.
-	5. Utför följande beräkningar i den givna basen och svara med samma bas som talen är skrivna i.	+	4. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan konvertera ett tal i bas 10 till bas 6. Ta inte ett exempel utan beskriv det allmänna fallet.
-	67 - 38 i bas 9	+	5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas <math>10</math>. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.
-	32*32 i bas 9	+	<ol type="a">
		+	<li><math>101,1 + 10,1</math> i bas <math>2</math></li>
		+	<li> <math>67 - 38</math> i bas <math>9</math></li>
		+	<li> <math>32\cdot32</math> i bas <math>5</math></li>
		+	</ol>
	6.		6.

---

Versionen från 9 augusti 2012 kl. 13.42

Innehåll 1 Inlämningsuppgift 3.1:1 2 Inlämningsuppgift 3.1:2 3 Inlämningsuppgift 3.1:3 4 Inlämningsuppgift 3.1:4 5 Inlämningsuppgift 3.2:1 6 Inlämningsuppgift 3.2:2 7 Inlämningsuppgift 3.2:3 8 Inlämningsuppgift 3.2:4 9 Inlämningsuppgift 5:1 10 Inlämningsuppgift 5:2

Inlämningsuppgift 3.1:1

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} och \displaystyle q:\mathbb{N}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=a^2

\displaystyle \qquad q(a)=\sqrt{a}

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:2

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=b\qquad g(c)=b

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=a\qquad f(c)=a\qquad f(d)=a\qquad f(e)=a

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=a^2

\displaystyle \qquad q(a)=-a

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:3

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:A\to C och \displaystyle f:C\to B vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=c\qquad g(c)=d

\displaystyle \qquad f(a)=d\qquad f(b)=a\qquad f(c)=b\qquad f(d)=c\qquad f(e)=d

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=2a

\displaystyle \qquad q(a)=a+1

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:4

Låt \displaystyle A=\{a,b,c,d\}, \displaystyle B=\{a,b,c\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:B\to C och \displaystyle f:C\to A vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=\sqrt{a}

\displaystyle \qquad q(a)=a

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.2:1

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin^2x=1/2. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \sin^2x=\frac{1}{2}

\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle x=45^{\circ}+2n\pi

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:2

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin x\cos x=\cos x. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}\cos x

\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}

\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:3

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}

\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}

\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:4

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle x = 45^{\circ}+2n\pi

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 5:1

Decimalutvecklingar och positionssystem

1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen \displaystyle 1/12, \displaystyle 1/22, \displaystyle 1/82, \displaystyle 1/33?

2. Skriv decimaltalet \displaystyle 0,46454545... som en kvot mellan två heltal. Förklara tydligt hur du gör och visa dina beräkningar.

3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.

4. Utför följande baskonverteringar:

1. \displaystyle 3030 i bas \displaystyle 6 till bas \displaystyle 10.
2. \displaystyle 3030 i bas \displaystyle 10 till bas \displaystyle 6.
3. \displaystyle 3,030 i bas \displaystyle 6 till bas \displaystyle 10.

Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas \displaystyle 10. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

1. \displaystyle 321 + 2300 i bas \displaystyle 4
2. \displaystyle 11\cdot 21 i bas \displaystyle 3
3. \displaystyle 121 - 22 i bas \displaystyle 5

6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.

Euklides algoritm och diofantiska ekvationer

1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.

2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(2345, 245). Redovisa din lösning.

3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{27}{2367} långt som möjligt. Redovisa din lösning.

4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 4x + 8y=28 och \displaystyle 4x + 8y=7. Redovisa din lösning.

5. Lille Per har av sin moder fått 100 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 25kr per styck och mandelkakor till ett pris av 18 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett udda tal. Hjälp lille Per!

Inlämningsuppgift 5:2

Decimalutvecklingar och positionssystem

1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen \displaystyle 1/35, \displaystyle 1/7, \displaystyle 1/44, \displaystyle 1/60?

2. Skriv decimaltalet \displaystyle 0,16666... som en kvot mellan två heltal.

3. Utför följande baskonverteringar:

1. \displaystyle 4242 i bas \displaystyle 7 till bas \displaystyle 10.
2. \displaystyle 4242 i bas \displaystyle 10 till bas \displaystyle 7.
3. \displaystyle 4,242 i bas \displaystyle 7 till bas \displaystyle 10.

Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

4. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan konvertera ett tal i bas 10 till bas 6. Ta inte ett exempel utan beskriv det allmänna fallet.

5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas \displaystyle 10. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

1. \displaystyle 101,1 + 10,1 i bas \displaystyle 2
2. \displaystyle 67 - 38 i bas \displaystyle 9
3. \displaystyle 32\cdot32 i bas \displaystyle 5

6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.

Euklides algoritm och diofantiska ekvationer

1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.

2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(569, 31). Redovisa din lösning.

3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{9876}{32} långt som möjligt. Redovisa din lösning.

4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 11x + 22y=32 och \displaystyle 11x + 22y=33. Redovisa din lösning.

5. Lille Per har av sin moder fått 120 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 18kr per styck och mandelkakor till ett pris av 12 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att han skulle köpa fler mandelkakor än lyxsemlor. Hjälp lille Per!