Lösning 3.3.1adis
Förberedande kurs i matematik
(Ny sida: Vi börjar med att logaritmerar och har i minnet logaritmlagarna ---- (1) <math> \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) </math> och (2) <math> \ln(a^{b})=b\ln(a) </math> ---- Då får vi att <math> 2...) |
(Ny sida: Vi börjar med att logaritmerar och har i minnet logaritmlagarna ---- (1) <math> \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) </math> och (2) <math> \ln(a^{b})=b\ln(a) </math> ---- Då får vi att <math> 2...) |
Nuvarande version
Vi börjar med att logaritmerar och har i minnet logaritmlagarna
(1) \displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) och
(2) \displaystyle \ln(a^{b})=b\ln(a)
Då får vi att
\displaystyle 2^{x^{2}}4^{x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \ln(2^{x^{2}}4^{x})=\ln(\frac{1}{2})
(1) ger att
\displaystyle \Leftrightarrow \ln(2^{x^{2}})+\ln(4^{x})=\ln(\frac{1}{2})
(2) ger att
\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}\ln{(2)}+x\ln{(4)}=\ln(\frac{1}{2})
\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}\ln{(2)}+x\ln{(2*2)}=\ln(2^{-1})
(1) applicerat på \displaystyle \ln{(2*2)} och (2) på HL ger att
\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}\ln{(2)}+x\ln{(2)}+x\ln{(2)}=-\ln(2)
\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+x+x=\frac{-\ln(2)}{\ln(2)}
Det här ger oss en vanlig andragradsekvation
\displaystyle x^{2}+2x=-1 \Leftrightarrow x^{2}+2x+1=0 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0
som har en dubbelrot vid \displaystyle x=-1
