Förberedande kurs i matematik

Vi börjar med att logaritmerar och har i minnet logaritmlagarna

---

(1) \displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) och

(2) \displaystyle \ln(a^{b})=b\ln(a)

---

Då får vi att

\displaystyle 2^{x^{2}}4^{x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \ln(2^{x^{2}}4^{x})=\ln(\frac{1}{2})

(1) ger att

\displaystyle \Leftrightarrow \ln(2^{x^{2}})+\ln(4^{x})=\ln(\frac{1}{2})

(2) ger att

\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}\ln{(2)}+x\ln{(4)}=\ln(\frac{1}{2})

\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}\ln{(2)}+x\ln{(2*2)}=\ln(2^{-1})

(1) applicerat på \displaystyle \ln{(2*2)} och (2) på HL ger att

\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}\ln{(2)}+x\ln{(2)}+x\ln{(2)}=-\ln(2)

\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+x+x=\frac{-\ln(2)}{\ln(2)}

Det här ger oss en vanlig andragradsekvation

\displaystyle x^{2}+2x=-1 \Leftrightarrow x^{2}+2x+1=0 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0

som har en dubbelrot vid \displaystyle x=-1