Övningar Kapitel 2
Förberedande kurs i matematik
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | ==Avsnitt 2.1 Polynom och Polynomekvationer== | ||
| + | ===Övning 2.1.1=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Är 3 ett polynom? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.3 | Lösning | Lösning 2.1.3}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.2=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Hur många reella rötter har följande polynom? | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>3x+2</math> | ||
| + | | | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>x^2-2x-3</math> | ||
| + | | | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>x^2+4x+5</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.2a | Svar b) | Svar 2.1.2b | Svar c) | Svar 2.1.2c | Lösning a)| Lösning 2.1.2a | Lösning b) | Lösning 2.1.2b | Lösning c) | Lösning 2.1.2c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.3=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt <math>p(z)=z^2+z</math>. Hur många komplexa rötter har <math>p(z)</math>? Hur många reella rötter har det? Hitta alla rötter till <math>p(z)</math>. | ||
| + | |||
| + | Kan ett polynom ha fler reella än komplexa rötter? | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: Svar | Svar_1.8.5c | Lösning | Lösning_1.8.5c}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.4=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till | ||
| + | <math>x^2+ix</math>. | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.1.4 | Lösning | Lösning 2.1.4}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.5=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera. | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>x^2-4</math> | ||
| + | | | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>x^2-6x+9</math> | ||
| + | | | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>x^3+4x^2+4x</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.5a | Svar b) | Svar 2.1.5b | Svar c) | Svar 2.1.5c | Lösning a)| Lösning 2.1.5a | Lösning b) | Lösning 2.1.5b | Lösning c) | Lösning 2.1.5c}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.6=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Lös ekvationen <math>-2x^2+10x=12</math> med hjälp av pq-formeln. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.6a | Lösning| Lösning 2.1.6a}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.8=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.8a | Lösning| Lösning 2.1.8a}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.9=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Förenkla <math> (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö) </math> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a| Svar 2.1.9 | Lösning | Lösning 2.1.9}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.2.1=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.7a | Lösning| Lösning 2.1.7a}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 2.3.1=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.1 | Lösning | Lösning 2.3.1}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.3.2=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså) | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.2 | Lösning | Lösning 2.3.2}} | ||
| + | |||
| + | |||
===Övning 2.4.1=== | ===Övning 2.4.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Versionen från 28 juni 2012 kl. 12.13
Innehåll |
Avsnitt 2.1 Polynom och Polynomekvationer
Övning 2.1.1
Är 3 ett polynom?
Hämtar...Övning 2.1.2
Hur många reella rötter har följande polynom?
| a) | \displaystyle 3x+2 | b) | \displaystyle x^2-2x-3 | c) | \displaystyle x^2+4x+5 |
Övning 2.1.3
Låt \displaystyle p(z)=z^2+z. Hur många komplexa rötter har \displaystyle p(z)? Hur många reella rötter har det? Hitta alla rötter till \displaystyle p(z).
Kan ett polynom ha fler reella än komplexa rötter?
Övning 2.1.4
Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till \displaystyle x^2+ix.
Övning 2.1.5
Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.
| a) | \displaystyle x^2-4 | b) | \displaystyle x^2-6x+9 | c) | \displaystyle x^3+4x^2+4x |
Övning 2.1.6
Lös ekvationen \displaystyle -2x^2+10x=12 med hjälp av pq-formeln.
Övning 2.1.8
Låt \displaystyle p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15 . Hitta alla dess rötter.
Övning 2.1.9
Förenkla \displaystyle (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö)
Övning 2.2.1
Låt \displaystyle x^2+ax+b vara ett polynom. Vad ska koefficienterna \displaystyle a och \displaystyle b vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet?
Övning 2.3.1
Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?
Övning 2.3.2
Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså)
Övning 2.4.1
Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x.
| a) | \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 | b) | \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1 |
| c) | \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 | d) | \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 |
| e) | \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0 |
