Testsida3

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (2 augusti 2012 kl. 12.38) (redigera) (ogör)
 
(4 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
===Övning 3.2.10===
+
===Övning 2.5.1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Låt
 
- 
-
<math>\qquad\begin{align}f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\\g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\end{align}</math>
 
- 
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
-
|a) Kan man definiera <math>f(g(a))</math>? Kan man definiera <math>g(f(a))</math>?
+
Betrakta ekvationen <math>\cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>. Vi noterar först och <math>\sqrt{3}/2</math> motsvarar en standarvinkel, nämligen <math>\pi/6</math>. Däremot finns inte <math>-\sqrt{3}/2</math> med på de vanligaste tabellerna över cos- och sin-värden för vanliga vinklar. Hur löser man då den här ekvationen? Vi ska dela upp lösningen i några enklare steg.
 +
| a) Utgå från ekvationen <math>\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2</math>. Använd trigonometriska samband från kurslitteraturen för att skriva om denna ekvation som <math>\cos(x)=-\sqrt{3}/2</math>, där <math>x</math> är en vinkel mellan <math>0</math> och <math>\pi</math>.
|-
|-
-
|b) Vad blir <math>f(2/3)</math>?
+
| b) I a)-uppgift hittade vi en lösning till den angivna ekvationen. Hitta en till lösning på intervallet <math>(-\pi,\pi]</math>. Tips: rita upp enhetscirkeln!
|-
|-
-
|c) Vad blir <math>g(f(2/3))</math>?
+
| c) I deluppgift a) och b) hittade två lösningar till ekvationen. Hitta resten av lösningarna.
-
|-
+
-
|d) Finns det ett naturligt tal <math>n</math> sådant att
+
-
<math>\qquad f(n)=2i+3</math>?
+
-
|-
+
-
|e) Finns det ett naturligt tal <math>n</math> sådant att
+
-
<math>\qquad f(n)=2\pi</math>?
+
-
|-
+
-
||
+
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 3.2.10.a | Svar b) | Svar 3.2.10.b | Svar c) | Svar 3.2.10.c | Svar d) | Svar 3.2.10.d | Svar e) | Svar 3.2.10.e | Lösning a) | Lösning 3.2.10.a | Lösning b) | Lösning 3.2.10.b | Lösning c) | Lösning 3.2.10.c | Lösning d) | Lösning 3.2.10.d | Lösning e) | Lösning 3.2.10.e }}
+
</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 2.5.1a | Svar b) | Svar 2.5.1b | Svar c) | Svar 2.5.1c | Lösning a) | Lösning 2.5.1a | Lösning b) | Lösning 2.5.1b | Lösning c) | Lösning 2.5.1c }}
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
===Övning 3.5.1===
+
-
 
+
-
<div class="ovning">
+
-
{| width="100%" cellspacing="10px"
+
-
|a) Använd sambandet <math>\sin(v)=\sin(\pi-v)</math> och standardvinklar för att beräkna <math>\sin(5\pi/6)</math>.
+
-
|-
+
-
|b) Använd följande samband
+
-
 
+
-
<math>\qquad\cos(x)=\cos(x+2\pi n),\qquad n\in\mathbb{Z}</math>
+
-
 
+
-
<math>\qquad\cos(x)=-\cos(x+\pi)</math>
+
-
 
+
-
samt standardvinklar för att räkna ut <math>\cos(37\pi/4)</math>.
+
-
|-
+
-
||
+
-
|}
+
-
</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 3.5.1.a | Svar b) | Svar 3.5.1.b | Lösning a) | Lösning 3.5.1.a | Lösning b) | Lösning 3.5.1.b }}
+
Rad 60: Rad 29:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT: Svar | Svar 2.3.4 | Lösning | Lösning 2.3.4 }}
</div>{{#NAVCONTENT: Svar | Svar 2.3.4 | Lösning | Lösning 2.3.4 }}
- 
- 
-
===Övning 2.3.2===
 
- 
-
<div class="ovning">
 
-
{| width="100%" cellspacing="10px"
 
-
|a) Hur många palidromer av längd 6 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?
 
-
|-
 
-
|b) Hur många palidromer av längd 5 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?
 
-
|-
 
-
||
 
-
|}
 
-
</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 2.3.2.a | Svar b) | Svar 2.3.2.b | Lösning a) | Lösning 2.3.2.a | Lösning b) | Lösning 2.3.2.b }}
 
- 
-
===Övning 2.3.3===
 
- 
-
<div class="ovning">
 
-
{| width="100%" cellspacing="10px"
 
-
|
 
-
Man kan välja mellan 3 olika tröjor (röd, gul och svart), 2 olika byxor (vita och svarta) och 5 olika hattar (gul, vit, svart, grön och blå).
 
-
|-
 
-
|a) Lena är inte så stilig, hon kombinerar färger fritt. På hur många sätt kan hon välja sina kläder?
 
-
|-
 
-
|b) Jonas vill ha svarta byxor och en gul tröja, men hattens färg tycker han inte är så viktig. Hur många olika klädval har han?
 
-
|-
 
-
|c) Anna vill inte kombinera svarta byxor med en gul tröja. På hur många sätt kan hon kombinera olika kläder?
 
-
|-
 
-
||
 
-
|}
 
-
</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 2.3.3.a | Svar b) | Svar 2.3.3.b | Svar c) | Svar 2.3.3.c | Lösning a) | Lösning 2.3.3.a | Lösning b) | Lösning 2.3.3.b | Lösning c) | Lösning 2.3.3.c | Tips c) | Tips 2.3.3.c}}
 
- 
- 
-
===Övning 3.2.1===
 
- 
-
<div class="ovning">
 
-
Låt <math>f(x)=\sqrt{x}</math>. Vilka av följande val till definitions- och målmängd är tillåtna?
 
-
{| width="100%" cellspacing="10px"
 
-
|a) <math>f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+</math>
 
-
|-
 
-
|b) <math>f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}</math>
 
-
|-
 
-
|c) <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math>
 
-
|-
 
-
|d) <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}</math>
 
-
|-
 
-
|e) <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>
 
-
|-
 
-
||
 
-
|}
 
-
</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) | Svar 3.2.1a | Svar b) | Svar 3.2.1b | Svar c) | Svar 3.2.1c | Svar d) | Svar 3.2.1d | Svar e) | Svar 3.2.1e | Lösning a) | Lösning 3.2.1 | Lösning b) | Lösning 3.2.1b | Lösning c) | Lösning 3.2.1c | Lösning d) | Lösning 3.2.1d | Lösning e) | Lösning 3.2.1e}}
 
===Övning 4.2.2===
===Övning 4.2.2===

Nuvarande version

Övning 2.5.1

Betrakta ekvationen \displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Vi noterar först och \displaystyle \sqrt{3}/2 motsvarar en standarvinkel, nämligen \displaystyle \pi/6. Däremot finns inte \displaystyle -\sqrt{3}/2 med på de vanligaste tabellerna över cos- och sin-värden för vanliga vinklar. Hur löser man då den här ekvationen? Vi ska dela upp lösningen i några enklare steg.
a) Utgå från ekvationen \displaystyle \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2. Använd trigonometriska samband från kurslitteraturen för att skriva om denna ekvation som \displaystyle \cos(x)=-\sqrt{3}/2, där \displaystyle x är en vinkel mellan \displaystyle 0 och \displaystyle \pi.
b) I a)-uppgift hittade vi en lösning till den angivna ekvationen. Hitta en till lösning på intervallet \displaystyle (-\pi,\pi]. Tips: rita upp enhetscirkeln!
c) I deluppgift a) och b) hittade två lösningar till ekvationen. Hitta resten av lösningarna.
Svar a)
Svar 2.5.1a
Svar b)
Svar 2.5.1b
Svar c)
Svar 2.5.1c
Lösning a)
Lösning 2.5.1a
Lösning b)
Lösning 2.5.1b
Lösning c)
Lösning 2.5.1c


Övning 2.3.4

En klass består av 30 elever. Vi vet att 15 av dem gillar fysik, 10 gillar biologi och 12 gillar matematik. Vidare så vet vi att 5 stycken gillar både matematik och biologi, 8 tycker om matematik och fysik, och 4 stycken tycker om fysik och biologi. I klassen finns det bara en person som tycker om samtliga ämnen.

Beteckna mängden av elever som gillar fysik med \displaystyle A, biologi med \displaystyle B och matematik med \displaystyle C.

Situationen kan illustreras med hjälp av ett Venn-diagram, se bilden bredvid.

Hur många elever gillar enbart matematik? Markera den efterfrågade mängden i Venn-diagrammet.

Svar
Svar 2.3.4
Lösning
Lösning 2.3.4

Övning 4.2.2

En punkt kallas \displaystyle a ett lokalt minimum om funktionsvärdena precis intill punkten är mindre än eller lika med \displaystyle f(a). På motsvarande sätt definieras ett lokalt maximum. Hitta antalet lokala maximi- och minimipunkter på intervallet \displaystyle (-2,2). Notera att \displaystyle 2 och \displaystyle -2 inte ligger på intervallet.

a)
\displaystyle f(x)=\frac{3x^2}{4} +x-3/2
b)
\displaystyle f(x)=x\sin{(6x)}
c)
\displaystyle f(x)=2
d)
\displaystyle f(x)=\begin{cases}-2x+4&\text{om }x<-1\\2&\text{om }-1\leq x\leq 1\\2x+4&\text{om }x>1\end{cases}
e)
\displaystyle f(x)=x+1
f)
\displaystyle f(x)=\begin{cases}x+2&\text{om }x<-1\\-2 x + 1&\text{om }-1\leq x< 1\\x&\text{om }x\geq 1\end{cases}
Svar a)
Svar 4.2.2a
Svar b)
Svar 4.2.2b
Svar c)
Svar 4.2.2c
Svar d)
Svar 4.2.2d
Svar e)
Svar 4.2.2e
Svar f)
Svar 4.2.2f
Lösning a)
Lösning 4.4.2.a
Lösning b)
Lösning 4.4.2.b
Lösning c)
Lösning 4.4.2.c
Lösning d)
Lösning 4.4.2.d
Lösning e)
Lösning 4.4.2.e
Lösning f)
Lösning 4.4.2.f
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Testsida3