Lösning 3.2.6

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: Att skapa en funktion till de naturliga talen kan ses som ett sätt att skapa en sekvens av elementen i definitionsmängden. I vårt fall kan vi skapa sekvensen noll, ett, minus ett, två, ...)
Nuvarande version (13 juli 2012 kl. 16.34) (redigera) (ogör)
m (flyttade Lösning 3.2.2 till Lösning 3.2.6)
 
(7 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Att skapa en funktion till de naturliga talen kan ses som ett sätt att skapa en sekvens av elementen i definitionsmängden. I vårt fall kan vi skapa sekvensen noll, ett, minus ett, två, minus två, osv. Vårt n:te element i sekvensen blir alltså <math>n/2</math> om n är jämt och <math>-(n-1)/2</math> om n är udda.
+
Att skapa en funktion till de naturliga talen kan ses som ett sätt att skapa en sekvens av elementen i definitionsmängden. I vårt fall kan vi skapa sekvensen ett, minus ett, två, minus två, osv, och låta position "noll" i sekvensen tas av noll. Vårt s:te element i sekvensen blir alltså <math>-s/2</math> om s är jämt och <math>(s+1)/2</math> om s är udda.
 +
 
 +
 
 +
Om vi vänder på det och ordnar ett tal n hamnar det på plats <math>2n-1</math> i sekvensen om n är positivt, och <math>-2n</math> om n är negativt.
 +
 
 +
 
 +
 
Skapa alltså funktionen <math>f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}</math> så att
Skapa alltså funktionen <math>f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}</math> så att
-
<math> f(x)= </math>
+
<math> f(n)= \left\{
-
OFÄRDIG PGA FRISBEE
+
\begin{array}{ll}
 +
2n-1 & \mbox{om } n > 0 \\
 +
-2n & \mbox{om } n < 0 \\
 +
0 & \mbox{om } n = 0
 +
\end{array}
 +
\right.</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Det är uppenbart att funktionen är både injektiv och surjektiv då vi har skapat funktionen genom att definiera en sekvens.

Nuvarande version

Att skapa en funktion till de naturliga talen kan ses som ett sätt att skapa en sekvens av elementen i definitionsmängden. I vårt fall kan vi skapa sekvensen ett, minus ett, två, minus två, osv, och låta position "noll" i sekvensen tas av noll. Vårt s:te element i sekvensen blir alltså \displaystyle -s/2 om s är jämt och \displaystyle (s+1)/2 om s är udda.


Om vi vänder på det och ordnar ett tal n hamnar det på plats \displaystyle 2n-1 i sekvensen om n är positivt, och \displaystyle -2n om n är negativt.



Skapa alltså funktionen \displaystyle f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N} så att \displaystyle f(n)= \left\{ \begin{array}{ll} 2n-1 & \mbox{om } n > 0 \\ -2n & \mbox{om } n < 0 \\ 0 & \mbox{om } n = 0 \end{array} \right.


Det är uppenbart att funktionen är både injektiv och surjektiv då vi har skapat funktionen genom att definiera en sekvens.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_3.2.6