Lösung 2.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we are to succeed in simplifying the integral with a substitution, we must find an expression <math>u = u(x)</math> so that the integral can be written as
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Wir sehen, dass der Faktor <math>\cos x</math> die Ableitung von <math>\sin x</math> ist. Daher substituieren wir <math>u=\sin x</math> und erhalten so das Intagral
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{{Displayed math||<math>\int \left(\begin{matrix}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>.}}
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\text{something}\\
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\text{in u}
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\end{matrix}\right)\cdot {u}'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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As our integral is written,
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Also erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\int\sin x\cos x\,dx</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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we see that the second factor <math>\cos x</math> is a derivative of the first factor, <math>\sin x</math>. If <math>u=\sin x</math>, the integral can thus be written as
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{{Displayed math||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>}}
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and this makes <math>u=\sin x</math> an appropriate substitution,
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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\int \sin x\cos x\,dx
\int \sin x\cos x\,dx
&= \left\{ \begin{align}
&= \left\{ \begin{align}
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&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.}
&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Alernative Lösungswege: [[2.2:3b_alternativ|3b Substitution]] [[2.2:3b_alternativ_trig|3b mit trigonometrischer Formel]]

Aktuelle Version

Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \cos x die Ableitung von \displaystyle \sin x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\sin x und erhalten so das Intagral

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx.

Also erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sin x\\[5pt] du &= (\sin x)'\,dx = \cos x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align}

Alernative Lösungswege: 3b Substitution 3b mit trigonometrischer Formel

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