Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \ -sin x die Ableitung von \displaystyle \cos x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\cos x und erhalten so das Integral

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx.

Also erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = \ -sin x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int -u\,du\\[5pt] &= \frac{-1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{-1}{2}\cos^2\!x + C\\ &= \frac{-1}{2}\ (1-sin^2\!x) + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align}

in der letzten Zeile haben wir geschrieben \displaystyle C+\frac{1}{2} =C , weil eine Konstante + \displaystyle \frac{1}{2} immer noch eine Konstante ist.