Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Im 1 Teil des Kurses in Kapitel 4.3-D hatten wir die trigonometrische Formel:

\displaystyle 2sin(x)cos(x) = sin(2x).

Damit kann man das Integral vereinfachen und ausrechnen:

\displaystyle \begin{align} \int \sin x\cos x\,dx &= \frac{1}{2} \int \ 2sin x\cos x\,dx\\ &= \frac{1}{2} \int \ sin(2x)\,dx\\ &= \frac{1}{2}(-cos(2x)) \frac{1}{2} + C\\ &= \frac{-1}{4}cos(2x) + C \end{align}

Diese Lösung unterscheidet sich von der zuvor gefundene Lösung nur durch eine Konstante: Ebenfalls in 4.3-D hatten wir die Formel

\displaystyle sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2} d.h. \displaystyle cos(2x)=-2sin^{2}(x)+1.

Damit gilt

\displaystyle \frac{-1}{4}cos(2x) \,=\, \frac{-1}{4}(-2sin^{2}(x)+1) \,=\, \frac{1}{2}sin^{2}(x)-\frac{1}{4}.