Lösung 2.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we to succeed in simplifying the integral with a substitution, we must find an expression
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Wir sehen, dass der Faktor <math>\cos x</math> die Ableitung von <math>\sin x</math> ist. Daher substituieren wir <math>u=\sin x</math> und erhalten so das Intagral
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<math>u=u\left( x \right)</math>
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so that the integral can be written as
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx</math>.}}
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<math>\int{\left( \begin{matrix}
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Also erhalten wir
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\text{something} \\
+
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\text{in}\quad u \\
+
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\end{matrix} \right)}\centerdot {u}'\,dx</math>.
+
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As our integral is written,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int \sin x\cos x\,dx
 +
&= \left\{ \begin{align}
 +
u &= \sin x\\[5pt]
 +
du &= (\sin x)'\,dx = \cos x\,dx
 +
\end{align} \right\}\\[5pt]
 +
&= \int u\,du\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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Alernative Lösungswege: [[2.2:3b_alternativ|3b Substitution]] [[2.2:3b_alternativ_trig|3b mit trigonometrischer Formel]]
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<math>\int{\sin x\cos x\,dx}</math>
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we see that the second factor
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<math>\cos x</math>
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is a derivative of the first factor,
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<math>\sin x</math>. If
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<math>u=\text{sin }x</math>, the integral can thus be written as
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+
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+
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<math>\int{u\centerdot {u}'\,dx}</math>
+
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+
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and this makes
+
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<math>u=\text{sin }x</math>
+
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an appropriate substitution,
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+
-
 
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<math>\begin{align}
+
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& \int{\sin x\cos x\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
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u=\text{sin }x \\
+
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du=\left( \sin x \right)^{\prime }\,dx=\cos x\,dx \\
+
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\end{matrix} \right\} \\
+
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& =\int{u\,du=\frac{1}{2}u^{2}} \\
+
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& =\frac{1}{2}\sin ^{2}x+C \\
+
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\end{align}</math>
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Aktuelle Version

Wir sehen, dass der Faktor \displaystyle \cos x die Ableitung von \displaystyle \sin x ist. Daher substituieren wir \displaystyle u=\sin x und erhalten so das Intagral

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx.

Also erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int \sin x\cos x\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sin x\\[5pt] du &= (\sin x)'\,dx = \cos x\,dx \end{align} \right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\sin^2\!x + C\,\textrm{.} \end{align}

Alernative Lösungswege: 3b Substitution 3b mit trigonometrischer Formel

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