16.11 Rotationer

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (12 september 2011 kl. 14.44) (redigera) (ogör)
 
(29 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Bild:Kap16_11.pdf 16.11 Rotationer]
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}}
 +
{{Mall:Vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/e/ea/Kap16_11.pdf 16.11 Rotationer]
 +
 
 +
 
 +
'''''Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du se en filmvisning om rotation genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:RotationFilm.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/RotationFilm.jnlp Du se en filmvisning om rotation]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan visualisera rotation genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:Rotation.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/Rotation.jnlp Du kan visualisera rotation]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
'''Övningar'''
'''Övningar'''
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
+
17.37 Givet en höger ON-bas i rummet. Följande matriser definierar linjära avbildningar i rummet. Beskriv geometriskt vad dessa gör.
 +
<center><math>
 +
A_1=\left(\begin{array}{rrr} 1&0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad
 +
A_2=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad
 +
A_3=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& \cos\theta& -\sin\theta\\ 0& \sin\theta& \cos\theta\end{array}\right)
 +
</math></center><!--
 +
 
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.37|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.37}}
 +
 
 +
 
 +
17.38 Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt en rotationsaxel <math>L</math> vara parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3.</math>
 +
 
 +
# Bestäm <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> om <math>F</math> är en rotation <math>\pi/2</math> i positiv led runt <math>L</math>.
 +
# Bestäm <math>G</math>:s matris <math>B_{\boldsymbol{e}}</math> om <math>G</math> är en rotation <math>3\pi/2</math> i positiv led runt <math>L</math>.
 +
# Bestäm <math>A^4_{\boldsymbol{e}}.</math><!--
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.38|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.38}}
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan visualisera uppgift 17.38 genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:Ex1738a.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/Ex1738a.jnlp Du kan visualisera uppgift 17.38]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
17.39. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>.
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>.
-
Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
+
Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
 
-
Svar|Svar till övning 1|
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
+
Svar|Svar till övning 17.39|
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.39}}
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
+
 
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
+
 
 +
'''Reflektionsuppgifter'''
 +
 
 +
1. Beskriv hur en rotationsmatris är uppbyggd.
 +
 
 +
2. Hur åstadkommer du rotation moturs respektive medurs?

Nuvarande version

       16.1          16.2          16.3          16.4          16.5          16.6          16.7          16.8          16.9          16.10          16.11      


Läs textavsnitt 16.11 Rotationer


Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du se en filmvisning om rotation genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan visualisera rotation genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Övningar


17.37 Givet en höger ON-bas i rummet. Följande matriser definierar linjära avbildningar i rummet. Beskriv geometriskt vad dessa gör.

\displaystyle

A_1=\left(\begin{array}{rrr} 1&0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad A_2=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad A_3=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& \cos\theta& -\sin\theta\\ 0& \sin\theta& \cos\theta\end{array}\right)

Svar
Svar till övning 17.37
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.37


17.38 Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt en rotationsaxel \displaystyle L vara parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3.

  1. Bestäm \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} om \displaystyle F är en rotation \displaystyle \pi/2 i positiv led runt \displaystyle L.
  2. Bestäm \displaystyle G:s matris \displaystyle B_{\boldsymbol{e}} om \displaystyle G är en rotation \displaystyle 3\pi/2 i positiv led runt \displaystyle L.
  3. Bestäm \displaystyle A^4_{\boldsymbol{e}}.
Svar
Svar till övning 17.38
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.38


Du kan visualisera uppgift 17.38 genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


17.39. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar
Svar till övning 17.39
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.39


Reflektionsuppgifter

1. Beskriv hur en rotationsmatris är uppbyggd.

2. Hur åstadkommer du rotation moturs respektive medurs?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16.11_Rotationer