Tips och lösning till övning 17.37

Tips 1

Följande är en hjälp vid bedömning av de olika matriserna.

1. Anmärkning 16.66 ger viss vägledning.

2. Kolonnerna i matriserna är bilderna av basvektorerna som i detta fall är ett HON-system.

3. Rita en figur.

Tips 2

\displaystyle A_{1} Enl anmärkning 16.66 är avbildningen en projektion.

\displaystyle A_{2} det\displaystyle A_{2}=3 så anmärkningen ger ingen vägledning. \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 avbildas på sig själva. Vad händer med \displaystyle \boldsymbol{e}_3?

\displaystyle A_{3} Exempel 16.28 ger hela lösningen.

Tips 3

\displaystyle A_{1} \displaystyle \boldsymbol{e}_2 avbildas på nollvektorn de övriga basvektorerna på sig själva.

\displaystyle A_{2} \displaystyle \boldsymbol{e}_3 blir tre gånger längre. Rita figur!

Lösning

a) \displaystyle A_1 är symmetrisk med det\displaystyle A_1=0. Om \displaystyle A_1 är matrisen till \displaystyle F, så följer av kolonnerna till \displaystyle A_1 att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1, \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_3, och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{0}. Alltså är \displaystyle F en ortogonal projektion i det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_3 och som har \displaystyle \boldsymbol{e}_2 som normal.

b) \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 avbildas på sig själva eftersom \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1, \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_3. Vidare sträcks \displaystyle \boldsymbol{e}_2, ty \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=3\boldsymbol{e}_2. Alltså är \displaystyle F en sträckning i \displaystyle \boldsymbol{e}_2-led.

c) \displaystyle F är vridning vinkeln \displaystyle \theta moturs kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1, se Kapitel 16.5 Rotation i rummet.