4.3 Tillämpningar
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Ej vald flik|[[4.1 Definition av vektorprodukt|4...) |
|||
| (14 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 7: | Rad 7: | ||
|} | |} | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | '''''Läs textavsnitt''''' [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/1/19/Kap4_3.pdf 4.3 Tillämpningar]. | ||
| + | </div> | ||
| - | Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/1/19/Kap4_3.pdf 4.3 Tillämpningar]. | ||
| - | Du | + | '''''Innan du börjar arbeta med detta moment så kan Du utföra beräkning av vektorprodukt genom att klicka på bilden.''''' |
| + | <imagemap> | ||
| + | Bild:VectorProduct.png|450px|alt=Alt text | ||
| + | default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/VectorProduct.jnlp Du kan här utföra beräkning av vektorprodukt] | ||
| + | </imagemap> | ||
| - | + | ||
| + | |||
| + | __TOC__ | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.5=== | ||
| + | |||
| + | Bestäm arean av den triangel som har hörn i <math> (1,1,1) </math>, <math> (1,2,1) </math> och <math>(3,2,1)</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.5| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.5}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.6=== | ||
| + | |||
| + | Bestäm arean för en parallellogram som har hörnpunkterna <math>(1,3,2) </math> , | ||
| + | <math> (2,-1,1) </math>, <math> (-1,2,3) </math> | ||
| + | och <math> (0,-2,2) </math> . | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.6| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.6}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.7=== | ||
| + | Bestäm arean av en parallellogram som har diagonalvektorerna | ||
| + | <math>\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}</math> | ||
| + | och | ||
| + | <math>\boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ -1\end{pmatrix}.</math> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.7| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.7}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.8=== | ||
| + | |||
| + | Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna | ||
| + | <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix}</math>, | ||
| + | |||
| + | <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix}</math> | ||
| + | och | ||
| + | <math>\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.</math> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.8| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.8}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.9=== | ||
| + | Vilka av följande uppsättningar av vektorer är linjärt beroende? | ||
| + | <center><math> | ||
| + | {\rm a)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}. | ||
| + | \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}. | ||
| + | \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix} | ||
| + | \qquad | ||
| + | {\rm b)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. | ||
| + | \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}. | ||
| + | \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 5.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 5.9a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 5.9b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.10=== | ||
| + | För vilka <math>a</math> är vektorerna | ||
| + | <math>\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}</math>, | ||
| + | <math>\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | och | ||
| + | <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a+1\end{pmatrix}</math> | ||
| + | linjärt beroende? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.10| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.10}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.11=== | ||
| + | |||
| + | För vilka <math>t</math> ligger punkterna | ||
| + | <math>(t,1,2)</math>, <math>(1,t,3)</math>, | ||
| + | <math>(1,1,1)</math> och <math>(0,1,1)</math> i ett plan? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.11| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.11}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.12=== | ||
| + | Ange ett värde på talet <math>a</math> så att vektorekvationen | ||
| + | <center><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} | ||
| + | \times | ||
| + | \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} | ||
| + | =\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3\end{pmatrix} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | blir lösbar. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.12| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.12}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.13=== | ||
| + | Antag att | ||
| + | <math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | och | ||
| + | <math>\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}</math>. | ||
| + | Lös vektorekvationen | ||
| + | <math>\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{v} </math> | ||
| + | för alla reella tal <math>k</math> , för vilka ekvationen är lösbar. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.13| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.13}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.14=== | ||
| + | Låt <math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | och | ||
| + | <math>\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}</math>. | ||
| + | Bestäm alla lösningar <math>\boldsymbol{x}</math> till | ||
| + | ekvationssystemet | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcr} | ||
| + | \boldsymbol{u} \cdot ( \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v} )&=&0\\ | ||
| + | \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{x} &=&0 | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till U 5.14| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till U 5.14}} | ||
Nuvarande version
| 4.1 | 4.2 | 4.3 |
Läs textavsnitt 4.3 Tillämpningar.
Innan du börjar arbeta med detta moment så kan Du utföra beräkning av vektorprodukt genom att klicka på bilden.
Innehåll |
Övning 5.5
Bestäm arean av den triangel som har hörn i \displaystyle (1,1,1) , \displaystyle (1,2,1) och \displaystyle (3,2,1).
Hämtar...
Övning 5.6
Bestäm arean för en parallellogram som har hörnpunkterna \displaystyle (1,3,2) , \displaystyle (2,-1,1) , \displaystyle (-1,2,3) och \displaystyle (0,-2,2) .
Övning 5.7
Bestäm arean av en parallellogram som har diagonalvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ -1\end{pmatrix}.
Övning 5.8
Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix},
\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.
Övning 5.9
Vilka av följande uppsättningar av vektorer är linjärt beroende?
{\rm a)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix} \qquad {\rm b)}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}.
Övning 5.10
För vilka \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a+1\end{pmatrix} linjärt beroende?
Övning 5.11
För vilka \displaystyle t ligger punkterna \displaystyle (t,1,2), \displaystyle (1,t,3), \displaystyle (1,1,1) och \displaystyle (0,1,1) i ett plan?
Övning 5.12
Ange ett värde på talet \displaystyle a så att vektorekvationen
\times \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3\end{pmatrix}
blir lösbar.
Övning 5.13
Antag att \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} =\begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}. Lös vektorekvationen \displaystyle \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{x} = \boldsymbol{v} för alla reella tal \displaystyle k , för vilka ekvationen är lösbar.
Övning 5.14
Låt \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. Bestäm alla lösningar \displaystyle \boldsymbol{x} till ekvationssystemet
\left\{\begin{array}{rcr} \boldsymbol{u} \cdot ( \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v} )&=&0\\ \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{x} &=&0 \end{array}\right.
