16.1 Definition av linjär avbildning
SamverkanLinalgLIU
(7 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
+ | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
+ | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
+ | {{Mall:Vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}} | ||
+ | {{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}} | ||
+ | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/6/64/Kap16_1.pdf 16.1 Definition av linjär avbildning]. | Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/6/64/Kap16_1.pdf 16.1 Definition av linjär avbildning]. | ||
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet. | Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet. | ||
+ | __TOC__ | ||
'''Övningar''' | '''Övningar''' | ||
17.1. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära? | 17.1. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära? | ||
- | <center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center> | + | <center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center><!-- |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.1| | Svar|Svar till övning 17.1| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.1}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.1}} | ||
- | 17.2. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. | + | 17.2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. |
:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math> | :*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math> | ||
:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math> | :*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math> | ||
- | :*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math> | + | :*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math><!-- |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.2| | Svar|Svar till övning 17.2| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.2}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.2}} | ||
+ | |||
17.3. Låt <math>G</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av | 17.3. Låt <math>G</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av | ||
Rad 38: | Rad 46: | ||
G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center> | G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center> | ||
- | Undersök om <math>G</math> är linjär. | + | Undersök om <math>G</math> är linjär.<!-- |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.3| | Svar|Svar till övning 17.3| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.3}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.3}} | ||
+ | |||
17.4. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av | 17.4. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av | ||
Rad 54: | Rad 57: | ||
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}</math></center> | <center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}</math></center> | ||
- | a) Undersök om <math>F</math> är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>. | + | a) Undersök om <math>F</math> är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>.<!-- |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.4| | Svar|Svar till övning 17.4| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.4}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.4}} | ||
+ | |||
'''Reflektionsuppgifter''' | '''Reflektionsuppgifter''' | ||
Rad 74: | Rad 72: | ||
b) att en avbildning inte är linjär | b) att en avbildning inte är linjär | ||
- | 2. Beskriv i ord för dig själv hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 4b) | + | 2. Varför skall nollvektorn avbildas på nollvektorn i en linjär avbildning? |
+ | |||
+ | 3. Beskriv i ord för dig själv hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 17.4b) | ||
+ | |||
+ | 4. Beskriv i ord det generella resultat du fått fram i övning 17.4c) |
Nuvarande version
16.1 | 16.2 | 16.3 | 16.4 | 16.5 | 16.6 | 16.7 | 16.8 | 16.9 | 16.10 | 16.11 |
Läs textavsnitt 16.1 Definition av linjär avbildning.
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Övningar
17.1. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
17.2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
- \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)
17.3. Låt \displaystyle G vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av
Undersök om \displaystyle G är linjär.
17.4. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av
a) Undersök om \displaystyle F är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A.
Reflektionsuppgifter
1. Beskriv för en kamrat vad som behöver göras för att visa
a) att en avbildning är linjär
b) att en avbildning inte är linjär
2. Varför skall nollvektorn avbildas på nollvektorn i en linjär avbildning?
3. Beskriv i ord för dig själv hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 17.4b)
4. Beskriv i ord det generella resultat du fått fram i övning 17.4c)