Tips och lösning till övning 17.4

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

a) Se tidigare uppgifter för att visa att \displaystyle F är linjär.

b) Med \displaystyle X=\displaystyle \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} erhålles

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{x_1-x_2}\\{2x_2+3x_3}\\{2x_1-x_3}\end{pmatrix}

Se nu till att matrisen blir fri från \displaystyle X

c) Använd resultatet i b) för att avbilda basvektorerna.

Tips 2

b) Bryt ut \displaystyle X=\displaystyle \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}

c) Utför vanlig matrismultiplikation där \displaystyle Y är bilden som beräknas som \displaystyle Y=AX, där \displaystyle X är respektive basvektor.

Tips 3

b) Resultatet blir på formen \displaystyle Y=AX där du identifierar matrisen \displaystyle A.

c) Jämförelse visar att första basvektors bild är första kolonnen i \displaystyle A osv. Detta är ett viktigt resultat som alltid gäller! Se sats 16.11.

Lösning

  • a) 1. Vi undersöker om \displaystyle F är additiv.

Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1={e}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}. Då gäller att

\displaystyle \begin{align}

F(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})&=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1+a_2}\\{b_1+b_2}\\{c_1+c_2}\end{pmatrix}\right) 

                          =\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{(a_1+a_2)-(b_1+b_2)}\\{2(b_1+b_2)+3(c_1+c_2)}\\{2(a_1+a_2)-(c_1+c_2)}\end{pmatrix}\\
                              &=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1-b_1}{2b_1+3c_1}{2a_1-c_1}\end{pmatrix}
                               +\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2-b_2}{2b_2+3c_2}{2a_2-c_2}\end{pmatrix}=F(\boldsymbol{u})+F(\boldsymbol{v}).
\end{align}

2. Vi undersöker om \displaystyle F är homogen. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{pmatrix}. Då är \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}{\lambda a}\\{\lambda b}\\{\lambda c}\end{pmatrix} och

\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right) 
                                     =\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a-\lambda b}\\{\lambda2b+\lambda3c}\\{2\lambda a-\lambda c}\end{pmatrix}
=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a-b}\\{2b+3c}\\{2a-c}\end{pmatrix}=\lambda F(\boldsymbol{u}).

Alltså är \displaystyle F en linjär avbildning.

  • b) Om \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}Y är bilden av \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X under \displaystyle F, dvs \displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{v}, så är
\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}Y=F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{x_1-x_2}\\{2x_2+3x_3}\\{2x_1-x_3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&{-1}&0\\0&2&3\\2&0&{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}AX.

Alltså, gäller att \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&{-1}&0\\0&2&3\\2&0&{-1}\end{pmatrix}.

  • c) Vi bestämmer bilden av basvektorerna, dvs \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2) och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3). Vi har att
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{1-0}\\{2\cdot0+3\cdot0}\\{2\cdot1-0}\end{pmatrix} =\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix},
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{-1}\\2\\0\end{pmatrix},

och

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{0}\\{3}\\{-1}\end{pmatrix}.

Dessa är kolonner i avbildningsmatrisen \displaystyle A till \displaystyle F.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.4