16.1 Definition av linjär avbildning

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 16.29) (redigera) (ogör)
 
(37 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Läs textavsnitt 16.1 Definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/6/64/Kap16_1.pdf 16.1 Definition av linjär avbildning].
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
 +
__TOC__
'''Övningar'''
'''Övningar'''
-
1. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
+
17.1. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
-
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
+
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center><!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 1|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
+
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
+
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.1|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.1}}
-
2. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
+
17.2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
-
:*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math>{{#NAVCONTENT:
+
:*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math><!--
-
Svar|Svar till övning 2|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
+
-
Lösning|Lösning till övning 2}}
+
-
3. Låt <math>G</math> vara en avbildning på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
+
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.2|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.2}}
 +
 
 +
 
 +
17.3. Låt <math>G</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
<center><math>
<center><math>
G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
-
Undersök om <math>G</math> är linjär.
+
Undersök om <math>G</math> är linjär.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 3|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 3|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 3|
+
-
Lösning|Lösning till övning 3}}
+
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.3|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.3}}
-
4. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
+
 
 +
17.4. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}</math></center>
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}</math></center>
-
a) Undersök om <math>F</math> är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>.
+
a) Undersök om <math>F</math> är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
 
-
Svar|Svar till övning 4|
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
Tips 1|Tips 1 till övning 4|
+
Svar|Svar till övning 17.4|
-
Tips 2|Tips 2 till övning 4|
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.4}}
-
Tips 3|Tips 3 till övning 4|
+
 
-
Lösning|Lösning till övning 4}}
+
'''Reflektionsuppgifter'''
'''Reflektionsuppgifter'''
Rad 60: Rad 72:
b) att en avbildning inte är linjär
b) att en avbildning inte är linjär
-
2. Beskriv i ord hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 4b)
+
2. Varför skall nollvektorn avbildas på nollvektorn i en linjär avbildning?
 +
 
 +
3. Beskriv i ord för dig själv hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 17.4b)
 +
 
 +
4. Beskriv i ord det generella resultat du fått fram i övning 17.4c)

Nuvarande version

       16.1          16.2          16.3          16.4          16.5          16.6          16.7          16.8          16.9          16.10          16.11      


Läs textavsnitt 16.1 Definition av linjär avbildning.

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


Övningar

17.1. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.
Svar
Svar till övning 17.1
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.1


17.2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

  • \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
  • \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
  • \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)
Svar
Svar till övning 17.2
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.2


17.3. Låt \displaystyle G vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle G är linjär.

Svar
Svar till övning 17.3
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.3


17.4. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}

a) Undersök om \displaystyle F är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A.

Svar
Svar till övning 17.4
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.4


Reflektionsuppgifter

1. Beskriv för en kamrat vad som behöver göras för att visa

a) att en avbildning är linjär

b) att en avbildning inte är linjär

2. Varför skall nollvektorn avbildas på nollvektorn i en linjär avbildning?

3. Beskriv i ord för dig själv hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 17.4b)

4. Beskriv i ord det generella resultat du fått fram i övning 17.4c)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16.1_Definition_av_linj%C3%A4r_avbildning