SamverkanLinalgLIU

Versionen från 25 mars 2010 kl. 07.05 (redigera) Tek (Diskussion | bidrag) (Lagt in navigeringstabbar) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 25 mars 2010 kl. 07.54 (redigera) (ogör) Tek (Diskussion | bidrag) m Gå till nästa ändring →
Rad 19:		Rad 19:
	Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.		Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
		+
	'''Övningar'''		'''Övningar'''

---

Versionen från 25 mars 2010 kl. 07.54

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9

16.10

16.11

Läs textavsnitt 16.1 Definition av linjär avbildning.

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

17.1. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.

17.2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

• \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
• \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
• \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)

17.3. Låt \displaystyle G vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle G är linjär.

17.4. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}

a) Undersök om \displaystyle F är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A.

Reflektionsuppgifter

1. Beskriv för en kamrat vad som behöver göras för att visa

a) att en avbildning är linjär

b) att en avbildning inte är linjär

2. Varför skall nollvektorn avbildas på nollvektorn i en linjär avbildning?

3. Beskriv i ord för dig själv hur du kan få fram avbildningens matris A på det sätt du gjorde i övning 17.4b)

4. Beskriv i ord det generella resultat du fått fram i övning 17.4c)