3.1 Relativistisk kinematik

Relativitetsteori

Relativistisk kinematik

Den klassiska fysikens rörelsemängd för en partikel med massan \displaystyle m och hastigheten \displaystyle v är

Detta uttryck för den totala rörelsemängden är bevarat i orelativistiska kollisioner men inte vid relativistiska kollisioner. Detta kan man övertyga sig om genom att betrakta en kollision

\bigcirc_2\;\;\; {\rm f\ddot ore} \;\;\; \;\;\;\;
\bigcirc_1\bigcirc_2 \;\; v=0, \;\;{\rm efter},

av två partiklar med samma massa \displaystyle m i två olika referenssystem med användande av additionsformlerna för hastigheter, som vi härledde tidigare. I tyngdpunktssystemet, där den totala hastigheten är noll före kollisionen, är den också noll efter kollisionen. Med en galileitransformation kan vi transformera oss till laboratoriesystemet, där den ena partikeln är i vila. Den totala rörelsemängden enligt (<a href=#ickerelp>3.1</a>) före kollisionen är då \displaystyle 2mv och efter kollisionen rör sig båda partiklarna med samma hastighet \displaystyle v och den totala rörelsemängden är fortfarande \displaystyle 2mv. Om vi i stället använder additionsformlerna för hastigheter får vi ett annat resultat på grund av faktorn \displaystyle 1/(1-v_1v_2/c^2) i nämnaren. Vi måste därför använda en annan definition av rörelsemängd i relativitetsteorin.

Den relativistiska rörelsemängd som bevaras även vid kollisioner med hög hastighet är

där \displaystyle m_0 nu är partikelns massa i vilosystemet (= vilomassa). Vi kan uppfatta detta som en generalisering av det orelativistiska uttrycket \displaystyle mv om

är den relativistiska massan. Man måste dock vara mycket observant här, så att man inte blandar ihop denna massa med vilomassan \displaystyle m_0.

Newtons rörelseekvation gäller nu på formen

där \displaystyle p är den relativistiska rörelsemängden och \displaystyle F är kraften. I det klassiska fallet är \displaystyle dp/dt = m_0 \dot v= m_0 \ddot x, men i den speciella relativitetsteorin beror \displaystyle p mer komplicerat på \displaystyle v genom \displaystyle \gamma-faktorn. (Här har vi använt beteckningen \displaystyle \dot y = dy/dt för tidsderivatan.)

Vi beräknar nu den kinetiska energin \displaystyle T som det arbete som utförs av kraften \displaystyle F när partikeln förflyttas från vila i origo vid tiden \displaystyle t=0 till läget \displaystyle x vid tiden \displaystyle t då den har hastigheten \displaystyle v. Den kinetiska energin är ju lika med kraftens arbete. Vi har först

\int_0^t \frac{dp}{dt'}\frac{dx'}{dt'}dt' = \int_0^t
\frac{dp}{dt'} u dt',

där vi använt kedjeregeln för derivering och satt \displaystyle u=dx/dt.

Vi kan nu ersätta \displaystyle u dp/dt med \displaystyle d(up)/dt- pdu /dt enligt regeln för hur man deriverar produkter. Om man gör det får man

[pu]_{u=0}^{u=v} -\int_0^v pdu.

Den första termen blir helt enkelt \displaystyle m_0 v^2/\sqrt{1-v^2/c^2}. Den andra termen måste vi integrera med avseende på \displaystyle u. Den blir

\frac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}udu =
m_0c^2\sqrt{1-v^2/c^2} -m_0c^2.

Den första termen i högerledet här kan vi skriva om som

Totalt får vi alltså

Den första termen i högerledet är den totala energin och den andra termen är den ekvivalenta viloenergin. Den totala energin \displaystyle mc^2 är alltså lika med den kinetiska energin \displaystyle T plus viloenergin \displaystyle m_0 c^2. Detta är Einsteins berömda formel

För små hastigheter kan vi approximera energin på följande sätt. Vi sätter uttrycket \displaystyle 1/\gamma = 1+a, där \displaystyle a är ett litet tal, eftersom hastigheten är liten och vi vet att \displaystyle \gamma =1 för \displaystyle v=0. Om vi kvadrerar bägge sidor i denna ekvation, och försummar den kvadratiska termen i \displaystyle a kan vi lösa ekvationen och finner till lägsta ordning i \displaystyle v^2/c^2 att \displaystyle a\approx -\frac{v^2}{2c^2}. Eftersom \displaystyle 1/(1+a)\approx 1-a, kan vi då skriva uttrycket för energin för små hastigheter som

Den andra termen kan vi här identifiera med den kinetiska energin, som alltså är det välbekanta klassiska uttrycket, och som gäller för små hastigheter \displaystyle v.

Vi kan också omedelbart konstatera att hastigheten för en partikel har ett annat uttryck än det klassiska \displaystyle v=p/m_0. Om vi jämför ekvation (<a href=#rörelsemängd1>3.3</a>) och (<a href=#energi2>3.11</a>) finner vi istället

vilket också kan skrivas som \displaystyle v/c=pc/E om vi använder dimensionslösa storheter. Storheterna \displaystyle p och \displaystyle E/c har med andra ord samma dimension. Låt oss nu beräkna uttrycket \displaystyle E^2/c^2 - p^2! Vi sätter först in \displaystyle p=Ev/c^2 från vårt resultat ovan, och får

Men nu är \displaystyle E^2/c^4 = m^2=m_0^2\gamma^2=m_0^2/(1-v^2/c^2) varför vi får

Den sista formeln visar att det uttryck vi studerar inte beror av hastigheten, utan har samma värde för alla observatörer oavsett inertialsystem. Det är med andra ord en invariant storhet. Om vi nu påminner oss uttrycket för intervallet \displaystyle s^2(ct, x,y,z) så ser vi att vårt uttryck fås om vi i formeln för \displaystyle s^2 sätter in \displaystyle (E/c, p_x,p_y,p_z). Med andra ord

Vi kan då dra slutsatsen att \displaystyle (E/c, p_x,p_y,p_z) transformerar sig på samma sätt som \displaystyle (ct,x,y,z) under Lorentztransformationer och dessutom har tidslik karaktär. Det är då lätt att verifiera att även uttrycket

är invariant under Lorentztransformationer, vilket vi senare skall utnyttja när vi studerar den relativistiska Dopplereffekten.

Övningsuppgift

En elektron har vilomassan \displaystyle m_0=0.51 MeV/\displaystyle c^2. Vilken hastighet uttryckt i ljushastigheten \displaystyle c har den om den accelereras över en spännig på \displaystyle 10^6 V?

Lösning

Lösning

Lösning 3.1.1

  Hämtar...

Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt