Relativitetsteori

Samtidighet

En av de viktigaste konsekvenserna av Lorentztransformationerna är att begreppet samtidighet inte längre är universellt. Vi kan bara ha relativ samtidighet. Med andra ord: när två händelser är samtidiga för en observatör \displaystyle O i \displaystyle S, kan de i allmänhet inte vara samtidiga för en observatör \displaystyle O' i \displaystyle S', om \displaystyle S och \displaystyle S' rör sig i förhållande till varandra.

Med en händelse menar vi en plats vid en viss tid. Idealiserat kan detta då beskrivas med en rum-tidpunkt \displaystyle (x^0, x,y,z), där vi inför \displaystyle x^0=ct. En sådan punkt kallar vi alltså en händelse. Kort skriver vi helt enkelt \displaystyle x=(x^0,x,y,z).

En händelse kan ha olika karaktär beroende på vilket värde intervallet \displaystyle s^2 har för händelsen. Om \displaystyle s^2(ct,x,y,z) är större än, lika med eller mindre än \displaystyle 0 , säger vi att händelsen är tidsartad, ljusartad eller rumsartad, respektive. Ljuset färdas längs händelser som är ljusartade, enligt vad vi erfor tidigare.

Antag nu att vi betraktar två skilda händelser i \displaystyle S, som vi kallar \displaystyle x_A och \displaystyle x_B. Skillnaden mellan dem är \displaystyle \Delta x = (x^0_A-x^0_B, x_A - x_B, y_A -y_B, z_A -z_B) = (\Delta x^0, \Delta x, \Delta y, \Delta z). Om de är samtidiga för \displaystyle O i \displaystyle S så gäller att \displaystyle x^0_A = x^0_B, eller med andra ord att \displaystyle \Delta x^0 = 0.

Låt oss sedan betrakta \displaystyle \Delta x sett från observatören \displaystyle O' i \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v längs positiva \displaystyle x-axeln. Hennes \displaystyle \Delta x' fås genom att Lorentztransformera \displaystyle x_A och \displaystyle x_B.

Eftersom Lorentztransformationerna är linjära transformationer, kan vi transformera \displaystyle \Delta x direkt längs positiva \displaystyle x-axeln och får då

\displaystyle \Delta x'^0 = \Delta x^0 \gamma - \Delta x (v/c)\gamma,

(2.22)

\displaystyle \Delta x' = - \Delta x^0 (v/c)\gamma + \Delta x \gamma,

(2.23)

\displaystyle \Delta y = \Delta y,

(2.24)

\displaystyle \Delta z = \Delta z.

(2.25)

Vi kan nu undersöka villkoren för att händelserna skall vara samtidiga för \displaystyle O' om de är samtidiga för \displaystyle O. Vi finner då först att \displaystyle \Delta x'^0= - \Delta x (v/c) \gamma eftersom \displaystyle \Delta x^0 =0. Då gäller samtidighet också för \displaystyle O', dvs att \displaystyle \Delta x'^0=0, bara om antingen \displaystyle v=0 eller \displaystyle \Delta x =0 eller båda. Dvs även om vi har samtidighet i \displaystyle S så gäller inte samtidighet i \displaystyle S' om inte båda systemen är i vila relativt varandra, eller händelserna har samma lägeskoordinat i \displaystyle x-led eller bägge. Detta har naturligtvis att göra med att ljuset tar ändlig tid på sig att fortplanta sig, och avstånden mellan punkterna A och B förändras under Lorentztransformationer.

Om nu två händelser är samtidiga för en observatör, är intervallet för deras skillnad rumsartat, dvs \displaystyle <0. Eftersom intervallet är invariant under Lorentztransformationer gäller att skillnaden är rumsartad för alla observatörer som befinner sig i intertialsysstem relativt den som ser dem samtidigt. Det betyder också att vi kan finna ett inertialsystem i vilket två händelser, vars skillnad är rumsartad, också är samtidiga.

- Hur förändras nu avstånden mellan A och B under Lorentztransformationer? Ja det skall vi undersöka härnäst.