Förberedande kurs i matematik

Låt oss sätta \displaystyle f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} . Vi ser nu att \displaystyle f_0 = 1 , och att \displaystyle f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 . Nu, notera att eftersom \displaystyle {n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} så gäller att \displaystyle f_n = \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} = \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} = f_{n-1} + f_{n-2}. Men , eftersom att \displaystyle f_0 var ju 1, och och \displaystyle f_1 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom \displaystyle f_n = f_{n-1}+f_{n-2} måste ju \displaystyle f_n vara det n+1 första Fibonaccitalet.