Lösning 2.2.3
Förberedande kurs i matematik
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n</math>. | + | Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad <math>n+1</math>. <math>q</math> har de <math>n+1</math> rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera <math>q</math> som |
| - | Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>. | + | |
| + | <math>\qquad q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> | ||
| + | |||
| + | för någon konstant <math>k</math>. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att | ||
| + | |||
| + | <math>\qquad\begin{align}q(n+2) &= (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) =\\&= \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n\end{align}</math>. | ||
| + | |||
| + | Vi kan lösa ut för <math>p</math> i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om <math>n</math> är udda, ser vi att det är <math>0</math>, medan om <math>n</math> är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>. | ||
Versionen från 3 juli 2012 kl. 07.30
Låt oss betrakta polynomet \displaystyle q(x) = x \cdot p(x) - 1 . Notera att detta har grad \displaystyle n+1. \displaystyle q har de \displaystyle n+1 rötterna \displaystyle 1,2, \ldots , n+1 , så vi kan faktorisera \displaystyle q som
\displaystyle \qquad q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1))
för någon konstant \displaystyle k. Vi har att \displaystyle q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! , så att \displaystyle k = (-1)^n /(n+1)! . Vi har nu att
\displaystyle \qquad\begin{align}q(n+2) &= (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) =\\&= \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n\end{align}.
Vi kan lösa ut för \displaystyle p i denna likhet och får då att \displaystyle p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) . Om \displaystyle n är udda, ser vi att det är \displaystyle 0, medan om \displaystyle n är jämnt så är det \displaystyle 2/(n+2) .
