Lösning 1.8.3a
Förberedande kurs i matematik
| Rad 9: | Rad 9: | ||
Från den första ekvationen får vi att <math>a^2=b^2</math>, och eftersom <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal kan vi dra slutsatsen att <math>a=\pm b</math>. | Från den första ekvationen får vi att <math>a^2=b^2</math>, och eftersom <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal kan vi dra slutsatsen att <math>a=\pm b</math>. | ||
| - | Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, | + | Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, och vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna. |
Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>. | Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>. | ||
Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal. | Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal. | ||
Versionen från 13 juni 2012 kl. 12.54
Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att \displaystyle a^2+2abi-b^2=i.
Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vänsterledet är \displaystyle a^2-b^2, och realdelen av högerledet är \displaystyle 0. Alltså vet vi att \displaystyle a^2-b^2=0.
Vi måste också ha att imaginärdelen av vänsterledet är lika med imaginärdelen av högerledet: vi får alltså att \displaystyle 2ab=1.
Då har vi fått ett ekvationssystem: \displaystyle a^2-b^2=0, och \displaystyle 2ab=1.
Från den första ekvationen får vi att \displaystyle a^2=b^2, och eftersom \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal kan vi dra slutsatsen att \displaystyle a=\pm b.
Stoppar vi in \displaystyle a=b i ekvationen \displaystyle 2ab=1 får vi att \displaystyle 2a^2=1, vilket leder till att \displaystyle a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}. Stoppar vi in \displaystyle a=-b i ekvationen, får vi att \displaystyle -2a^2=1, men då då måste \displaystyle a vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, och vi ville ju att \displaystyle a skulle vara reellt. Alltså är \displaystyle a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} de enda potentiella lösningarna.
Detta leder till de fyra kandidatlösningarna \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) , \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right), \displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) och \displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right). Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i, och att \displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i.
Detta betyder att vi faktiskt kan skriva \displaystyle \sqrt{i} som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.
