Matematisk text

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: ==Goda råd== ===Förklara din lösning=== Det viktigaste rådet är: <center>Förklara din lösning.</center> Lösningen ska inte bara vara en redovisning av vilka formler som du använ...)
Rad 10: Rad 10:
Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.
Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.
-
===Skriv god svenska===
 
-
Även om detta inte är en inlämningsuppgift i svenska och att det självklart är det matematiska innehållet som är viktigast så ska du tänka på saker som stavfel, grammatiska fel osv. Om din lösning har alltför många språkliga fel försämrar det kommunikationen med läsaren och påverka även lösningens trovärdighet.
 
===Renskriv lösningen===
===Renskriv lösningen===
Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar din tankegång och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och behöver inte binda upp dig vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.
Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar din tankegång och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och behöver inte binda upp dig vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.
-
När du skriver in lösningen, gör det som text och inte som skärmdumpar från din ordbehandlare. Visserligen kan det vara enklare att skriva lösningen på din egen dator i favoritprogrammet, men tänk på att lösningen i nästa fas ska ingå i ett grupparbete och då är det viktigt att lösningen går att redigera av alla.
 
===Ett tydligt svar===
===Ett tydligt svar===
Skriv ett tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.
Skriv ett tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.
- 
-
<div class="exempel">
 
-
''' Exempel 1'''
 
- 
-
<ol type="a">
 
-
<li><math>\sqrt8</math> förenklas till <math>2\sqrt2</math>. </li>
 
-
<li><math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math> förenklas till <math>1 + 2\sin 2x</math>. </li>
 
-
<li><math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{heltal})\ </math> förenklas till <math>x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{heltal})</math>.</li>
 
-
</ol>
 
- 
-
</div>
 
===Pröva och kontrollera delsteg och svar===
===Pröva och kontrollera delsteg och svar===
-
Ibland när man löser vissa ekvationer dyker det upp s.k. falska rötter som en konsekvens av det lösningssätt som man använt. I dessa fall, förklara varför eventuella falska rötter kan finnas och pröva lösningarna för att se vilka som är riktiga lösningar och vilka som är falska rötter.
 
- 
-
En annan sak att se upp med är uteblivna lösningar. T.ex. om en faktor i båda led i en ekvation förkortas bort så riskerar lösningarna som ges av när faktorn är noll att försvinna.
 
- 
-
<div class="exempel">
 
-
'''Exempel 2'''
 
- 
-
Om du löser ekvationen <math>2x^2-5x=0</math> genom att först flytta <math>5x</math> till högerledet,
 
-
{{Fristående formel||<math>2x^2=5x,</math>}}
 
-
och förkorta bort <math>x</math> i båda led,
 
-
{{Fristående formel||<math>2x=5,</math>}}
 
-
så förlorar du lösningen <math>x=0</math>.
 
- 
-
Om du istället faktoriserar vänsterledet,
 
-
{{Fristående formel||<math>x(2x-5)=0,</math>}}
 
-
så kan du avläsa båda lösningarna: <math>x=0</math> och <math>2x-5=0</math> (dvs. <math>x=\tfrac{5}{2}</math>).
 
- 
-
Läs mer om faktorisering i lösningsförslaget till övning 2.1:3.
 
-
</div>
 
- 
En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning.
En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning.
-
En annan sak är att bedöma om svaret är rimligt. Stoppa in värden på vissa parametrar och se att man får rätt svar (vad händer om <math>a = 0</math>, <math>a = 1</math> eller <math>a</math> går mot oändligheten?).
+
Det är viktigt att lösningen är tydlig. Ett sätt att åstadkomma detta är använda fristående formler, dvs skrivna på egen rad istället för att blanda matematiska symboler och text på samma rad. När du skriver fristående formler, tänk på att skriva en förklarande text på raden innan samt att centrera formlerna.
-
 
+
-
===Rita tydliga figurer===
+
-
En figur kan ofta förklara införda beteckningar bättre än text, så använd gärna figurer. Tänk dock på att rita dem tydliga och överlasta inte en figur med alltför många detaljer. Det kan vara bättre att ha flera nästan likadana figurer som var och en illustrerar en sak än en stor kombinationsfigur som ska förklara allt.
+
-
 
+
-
 
+
-
==Behandla formler som en del av texten==
+
-
 
+
-
Det är viktigt att du skriver din lösning på ett sätt som gör det enkelt för andra att följa med i resonemangen. Nedan presenterar vi några exempel på hur man ska och inte ska framställa texten när man använder formler i sin lösning.
+
-
 
+
-
<div class="regel">
+
-
'''Goda råd kring formler och text'''
+
-
<ol>
+
-
<li>Skriv förklarande text på raden innan en fristående formel</li>
+
-
<li>Tänk på hur du skriver ut punkt och komma</li>
+
-
<li>Skriv fristående formler något indragna (eller centrerade)</li>
+
-
</ol>
+
-
</div>
+
-
 
+
-
Formler bör inte ses som något som hängs på texten (eller tvärt om) utan både text och formler ska integreras samman i ett linjärt flöde. Skriv därför inte förklarande text inom parenteser efter formler utan istället på raden innan.
+
-
 
+
-
<div class="exempel">
+
-
'''Skriv inte'''
+
-
 
+
-
''formel'' (text text text text text text ...)
+
-
 
+
-
''formel'' (text text text text text text ...)
+
-
</div>
+
-
 
+
-
<div class="exempel">
+
-
'''Skriv istället'''
+
-
 
+
-
Text text text text...
+
-
 
+
-
::''formel''.
+
-
 
+
-
Text text text text...
+
-
 
+
-
::''formel''.
+
-
</div>
+
-
 
+
-
Formler kan antingen skrivas inne i den löpande texten eller fristående. När formler skrivs fristående hamnar de på en egen rad och antingen centrerade eller något indragna.
+
-
 
+
-
<div class="exempel">
+
-
'''Skriv'''
+
-
 
+
-
... text text text ''<span style="color:green">formel</span>'' text.
+
-
 
+
-
Text text text
+
-
 
+
-
::''<span style="color:green">formel</span>''
+
-
 
+
-
text text text text text text ...
+
-
 
+
-
(Notera hur indragningen framhäver både den förklarande texten och formeln.)
+
-
</div>
+
-
 
+
-
Ett vanligt fel är att använda kolon framför alla fristående formler.
+
-
 
+
-
<div class="exempel">
+
-
'''Skriv inte'''
+
-
 
+
-
...vilket ger att '''<span style="color:red">:</span>'''
+
-
 
+
-
:''formel''
+
-
 
+
-
Nästa steg är...
+
-
 
+
-
(Observera att det också behövs en punkt efter formeln ovan.)
+
-
</div>
+
-
 
+
Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på hur du använder skiljetecken. Exempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening.
Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på hur du använder skiljetecken. Exempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening.
- 
-
<div class="exempel">
 
-
'''Skriv'''
 
- 
-
...och därför är
 
- 
-
:''formel'''''<span style="color:green;">.</span>'''
 
- 
-
Nästa steg är...
 
- 
-
(Notera punkten efter formeln. )
 
-
</div>
 
- 
-
Ett ofog är att i en lösning använda överdriven numrering, t.ex. sätta ut en siffra framför varje enskilt steg (numrering bör användas vid en ren uppräkning). De extra siffrorna tillför ofta inget utan blir mest distraherande. Man behöver sällan referera tillbaka till enskilda steg, och behöver man det kan man ofta skriva exempelvis "när vi kvadrerade ekvationen" osv.
 
- 
-
<div class="exempel">
 
-
'''Skriv inte'''
 
- 
-
'''<span style="color:red;">3.</span>''' text text text text text text text text ...
 
- 
-
::''formel''
 
- 
-
'''<span style="color:red;">4.</span>''' text text text text text text text text ...
 
-
</div>
 
- 
-
Ibland vill man referera tillbaka till en viss fristående formel och då kan man numrera den med en siffra (eller stjärna) inom parenteser i höger eller vänster marginal.
 
- 
-
<div class="exempel">
 
-
...text text text text text text text text
 
- 
-
::{|width="100%"
 
-
|align="left" width="100%"|''formel''.
 
-
||<span style="color:green;">(1)</span>
 
-
|}
 
- 
-
Text text <span style="color: green;">(1)</span> text text text text text text
 
- 
-
::''formel''.
 
- 
-
Text text text text text text text text...
 
-
</div>
 
- 
- 
-
==Vanliga fel==
 
===Var noggrann med pilar och likheter===
===Var noggrann med pilar och likheter===
Rad 187: Rad 39:
</div>
</div>
-
Ofta skriver man inte ut <math>\Leftrightarrow</math> mellan två rader som direkt följer efter varandra eftersom ekvivalensen då är underförstådd. Många gånger är det också bättre att använda förklarande text istället för pilar mellan olika steg i lösningen. Använd inte implikationspilen <math>\Rightarrow</math> som en allmän fortsättningssymbol (i betydelsen "sedan har vi").
 
- 
-
Likhetstecknet (<math>=</math>) används i två betydelser, dels mellan saker som är identiskt lika, t.ex. <math> (x - 2)^2 = x^2 -4x + 4 </math> som gäller för alla <math>x</math>, dels i ekvationer där båda led är lika för vissa <math>x</math>, exempelvis <math>(x - 2)^2 = 4</math> som bara gäller för <math>x = 0 </math> eller <math>x = 4</math>. Du ska inte blanda dessa två olika användningar av samma tecken.
 
- 
-
<div class="exempel">
 
-
''' Exempel 4'''
 
- 
-
Skriv inte
 
- 
-
:<math>x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4</math>
 
- 
-
när du löser ekvationen <math>x^2 - 2x + 1 = 4</math>, eftersom det då lämnar öppet för misstolkningar.
 
- 
-
Skriv hellre
 
- 
-
:<math>x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4</math>.
 
- 
-
</div>
 
- 
-
(Det finns också en tredje användning av likhetstecknet som förekommer när man definierar ett uttryck eller t.ex. en operation.)
 
- 
-
Enkelpilen (<math>\rightarrow</math>) används i matematiken oftast vid olika typer av gränsvärden; <math>a\to\infty</math> betyder att <math>a</math> växer obegränsat (går mot oändligheten). Du kommer troligtvis inte behöva använda enkelpilen i denna kurs.
 
- 
-
===Slarva inte med parenteser===
 
Eftersom multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion är det nödvändigt att stoppa in parenteser om man vill att additionen/subtraktionen ska utföras först. Eftersom vi har denna regel så ska du inte heller ha med onödiga parenteser.
Eftersom multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion är det nödvändigt att stoppa in parenteser om man vill att additionen/subtraktionen ska utföras först. Eftersom vi har denna regel så ska du inte heller ha med onödiga parenteser.
Rad 220: Rad 48:
<li>Skriv inte <math>1 + (1/\sin x)</math> när detta bättre skrivs som <math>1 + 1/\sin x</math> (även om det förra skrivsättet, formellt sett, inte är felaktigt).</li>
<li>Skriv inte <math>1 + (1/\sin x)</math> när detta bättre skrivs som <math>1 + 1/\sin x</math> (även om det förra skrivsättet, formellt sett, inte är felaktigt).</li>
</ol>
</ol>
-
</div>
 
- 
-
I bokstavsuttryck utelämnar man ofta multiplikationstecknet. Exempelvis skriver man nästan aldrig <math>4 \cdot x \cdot y \cdot z </math> utan <math>4xyz </math>. Detta utelämnade multiplikationstecken binder ihop uttryck hårdare än multiplikation och division (men inte upphöjt till). När du därför skriver <math> 1/2R </math> så betyder det <math>1/(2R)</math> och inte <math>(1/2)R</math>. Eftersom detta kan vara en källa till missförstånd så är det inte helt ovanligt att man skriver ut parenteserna i båda situationerna (även om de strikt sett bara är nödvändiga i det ena uttrycket).
 
- 
-
Argument till de vanliga elementära funktionerna skriver man utan parenteser. Därför ska du inte skriva
 
- 
-
<center><math>\cos (x)</math>, <math>\sin (x)</math>, <math>\tan (x)</math>, <math>\cot (x)</math>, <math>\lg (x)</math> och <math>\ln (x)</math></center>
 
- 
-
utan
 
- 
-
<center><math>\cos x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\lg x</math> och <math>\ln x</math>.</center>
 
- 
-
Det är t.o.m. så att man skriver <math> \cos 2x </math> och inte <math> \cos(2x) </math> (eftersom 2x är ett tätt ihopsatt uttryck), men däremot är parenteserna nödvändiga när man skriver <math>\sin (x + y)</math>, <math>\sin(x / 2)</math>, <math>\sin (-x)</math> eller <math>(\sin x)^2</math> (som du, alternativt, kan skriva som <math>\sin ^2\!x</math>).
 
- 
- 
-
<div class="inforuta" style="width:580px;">
 
-
'''Råd för inläsningen'''
 
- 
-
Läs gärna avsnittet både innan och efter att du skriver lösningen till din inlämningsuppgift.
 
- 
-
'''Länktips'''
 
- 
-
* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp En videokurs] i hur man skriver matematik av Donald Knuth. (Kompendiet som hör till kursen finns tillgängligt i [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz källform] eller i utdrag från [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books].)
 
- 
</div>
</div>

Versionen från 26 april 2010 kl. 19.07

Innehåll

Goda råd

Förklara din lösning

Det viktigaste rådet är:

Förklara din lösning.

Lösningen ska inte bara vara en redovisning av vilka formler som du använt, utan också en beskrivning av hur du har tänkt. Använd ord till detta! För att få rätt nivå på lösningen: tänk dig att du förklarar lösningen för en klasskompis som har lite svårt att hänga med i alla steg. Du ska alltså inte förklara minsta lilla räkneoperation men inte heller hoppa över viktiga steg.

Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.


Renskriv lösningen

Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar din tankegång och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och behöver inte binda upp dig vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.


Ett tydligt svar

Skriv ett tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.

Pröva och kontrollera delsteg och svar

En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning.

Det är viktigt att lösningen är tydlig. Ett sätt att åstadkomma detta är använda fristående formler, dvs skrivna på egen rad istället för att blanda matematiska symboler och text på samma rad. När du skriver fristående formler, tänk på att skriva en förklarande text på raden innan samt att centrera formlerna. Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på hur du använder skiljetecken. Exempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening.

Var noggrann med pilar och likheter

Det är skillnad mellan \displaystyle \Rightarrow (implikation), \displaystyle \Leftrightarrow (ekvivalens) och \displaystyle = (lika med). Mellan två ekvationer som man på förhand vet har samma lösningar används ekvivalenspilen \displaystyle \Leftrightarrow för att signalera detta.

Om vi däremot skriver "ekvation 1 \displaystyle \Rightarrow ekvation 2" så betyder det att alla lösningar som ekvation 1 har har också ekvation 2, men ekvation 2 kan dessutom ha fler lösningar.

Exempel 3

  1. \displaystyle x + 5 = 3\quad \Leftrightarrow\quad x = -2
  2. \displaystyle x^2-4x-1=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2-5=0
  3. \displaystyle \sqrt x = x - 2\quad\Rightarrow\quad x = (x - 2)^2

Eftersom multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion är det nödvändigt att stoppa in parenteser om man vill att additionen/subtraktionen ska utföras först. Eftersom vi har denna regel så ska du inte heller ha med onödiga parenteser.

Exempel 5

  1. Skriv inte \displaystyle 1 + x /\cos x när du egentligen menar \displaystyle (1 + x) / \cos x.
  2. Skriv inte \displaystyle 1 + (1/\sin x) när detta bättre skrivs som \displaystyle 1 + 1/\sin x (även om det förra skrivsättet, formellt sett, inte är felaktigt).
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Matematisk_text