Förberedande kurs i matematik

---

Nuvarande version

Vi börjar, som ovan, med att studera tiopotenser: \displaystyle 10^0\equiv_{11}1, \displaystyle 10^1\equiv_{11}-1, \displaystyle 10^2\equiv_{11}1, \displaystyle 10^3\equiv_{11}-1. Generellt, så om \displaystyle n är ett jämnt, dvs. om \displaystyle n=2k för något heltal \displaystyle k, så har vi att \displaystyle 10^n\equiv_{11}10^{2k}\equiv_{11}(10^2)^k\equiv_{11}1^k\equiv_{11}1. Om \displaystyle n är udda har vi att \displaystyle 10^n\equiv_{11}10\cdot 10^{2k}\equiv_{11}(-1)\cdot1\equiv_{11}-1. Om vi, som i de tidigare uppgifterna, skriver det godtyckliga helatalet \displaystyle N som \displaystyle n_0\cdot10^0+n_1\cdot 10^1+\ldots+n_k\cdot 10^k, kan vi se att \displaystyle N\equiv_{11}n_0-n_1+n_2+\ldots+(-1)^k n_k, vilket precis är den alternerande siffersumman för talet \displaystyle N. Om nu denna är delbar med 11, är alltså talet självt också delbart med 11.