Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösning 2.2.3

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <mat...)
Rad 1: Rad 1:
-
Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdots (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = \dfrac{(-1)^n)</math>.
+
Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdots (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n</math>.
Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.
Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.

Versionen från 2 juli 2012 kl. 12.19

Låt oss betrakta polynomet q(x)=xp(x)−1. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna 12...n+1 , så vi kan faktorisera q som q(x)=k(x−1)(x−2)(x−(n+1)) för någon konstant k. Vi har att q(0)=−1=k(−1)n(n+1)!, så att k=(−1)n(n+1)!. Vi har nu att q(n+2)=(n+2)p(n+2)−1=(−1)n(n+1)!(n+2−1)(n+2−(n+1))=(−1)n(n+1)!(n+1)!=(−1)n. Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att p(n+2)=((−1)n+1)(n+2). Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det 2(n+2).

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_2.2.3