Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message


jsMath

Lösning 2.3.2

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (27 juni 2012 kl. 14.03) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
Vi börjar med att räkna hur många sätt det totalt finns att bära dessa kassar på. Vi ser då att det för varje kasse finns fyra händer att välja på, så isådanafall <math> 4^7 </math> sätt. I detta fall har vi helt klart räknat med för mycket, vi vill ju att ingen hand skall vara tomhänt...
Vi börjar med att räkna hur många sätt det totalt finns att bära dessa kassar på. Vi ser då att det för varje kasse finns fyra händer att välja på, så isådanafall <math> 4^7 </math> sätt. I detta fall har vi helt klart räknat med för mycket, vi vill ju att ingen hand skall vara tomhänt...
 +
Vi försöker subtrahera antalet sätt som vi kan distribuera kassar om en hand får vara tomhänt, Ordna händerna så att du kan tala om den första, resp. andra, tredje och fjärde handen. Om den första handen är tomhänt finns det <math>3^7</math> sätt at distribuera kassarna på, samma med den andra, tredje och fjärde handen.Så om vi betraktar <math> 4^7-4 \cdot 3 ^7 </math> kan vi frestas att tro att detta är antalet sätt att distribuera våra kassar på så att ingen hand är tomhänt. Men tänk om både den första handen och den andra handen är tomhänta? Vi subtraherade ju dessa två gånger, en gång I det första scenariot då hand nummer 1 var tom, och en annan gång då hand nummer 2 var tom. Alltså har vi subtraherat en gång för mycket. På liknande sätt, att hand nummer 2 och 3 är tomma har vi subtraherat bort 2 gånger, och samma för de andra händerna.
Vi försöker subtrahera antalet sätt som vi kan distribuera kassar om en hand får vara tomhänt, Ordna händerna så att du kan tala om den första, resp. andra, tredje och fjärde handen. Om den första handen är tomhänt finns det <math>3^7</math> sätt at distribuera kassarna på, samma med den andra, tredje och fjärde handen.Så om vi betraktar <math> 4^7-4 \cdot 3 ^7 </math> kan vi frestas att tro att detta är antalet sätt att distribuera våra kassar på så att ingen hand är tomhänt. Men tänk om både den första handen och den andra handen är tomhänta? Vi subtraherade ju dessa två gånger, en gång I det första scenariot då hand nummer 1 var tom, och en annan gång då hand nummer 2 var tom. Alltså har vi subtraherat en gång för mycket. På liknande sätt, att hand nummer 2 och 3 är tomma har vi subtraherat bort 2 gånger, och samma för de andra händerna.
 +
Vi försöker därmed lägga till dessa. Först väljer vi två händer som får vara tomma på <math> {4 \choose 2} = 6 </math> sätt. Det finns då 2^7 sätt att distribuera ut kassarna, om dessa två skall vara tomma. Så om vi adderar till det:
Vi försöker därmed lägga till dessa. Först väljer vi två händer som får vara tomma på <math> {4 \choose 2} = 6 </math> sätt. Det finns då 2^7 sätt att distribuera ut kassarna, om dessa två skall vara tomma. Så om vi adderar till det:
<math> 4^7-4 \cdot 3^7 + 6 \cdot 2^7 </math> , är vi då färdiga? Nej. För tänk om hand 1, 2 och 3 är tomma! I detta fall så har vi räknat med det en gång I <math> 4^7 </math>, tre gånger I <math> 4 \cdot 3^7 </math> (då hand 1 ,2 eller 3 är tom) , och tre gånger I <math> 4 \cdot 2^7 </math> (då hand 1 och 2, eller hand 2 och 3, eller hand 1 och 3 är tomma). Sammanlagt har vi alltså räknat med detta <math>1-3+3=-2+3=1 </math> gånger. Men vi vill ju inte räkna med detta NÅGON gång. Alltså måste vi subtrahera I de fall då detta händer.
<math> 4^7-4 \cdot 3^7 + 6 \cdot 2^7 </math> , är vi då färdiga? Nej. För tänk om hand 1, 2 och 3 är tomma! I detta fall så har vi räknat med det en gång I <math> 4^7 </math>, tre gånger I <math> 4 \cdot 3^7 </math> (då hand 1 ,2 eller 3 är tom) , och tre gånger I <math> 4 \cdot 2^7 </math> (då hand 1 och 2, eller hand 2 och 3, eller hand 1 och 3 är tomma). Sammanlagt har vi alltså räknat med detta <math>1-3+3=-2+3=1 </math> gånger. Men vi vill ju inte räkna med detta NÅGON gång. Alltså måste vi subtrahera I de fall då detta händer.
 +
Antalet sätt som 3 händer kan vara tomma på är <math> {4 \choose 3 }= 4 </math> . Det finns då 1 sätt att dela ut resten av kassarna på, ge det till den stackars handen som kvarstår. Alltså totalt 4 sätt som 3 händer kan vara tomma på och kassarna kan distribueras. Nu har vi alltså
Antalet sätt som 3 händer kan vara tomma på är <math> {4 \choose 3 }= 4 </math> . Det finns då 1 sätt att dela ut resten av kassarna på, ge det till den stackars handen som kvarstår. Alltså totalt 4 sätt som 3 händer kan vara tomma på och kassarna kan distribueras. Nu har vi alltså
<math> 4^7-4 \dot 3^7 + 6 \cdot 2^7 - 4 = 8400 </math> sätt. Detta är det slutliga resultatet.
<math> 4^7-4 \dot 3^7 + 6 \cdot 2^7 - 4 = 8400 </math> sätt. Detta är det slutliga resultatet.

Nuvarande version

Vi använder oss av någonting som kallas principen för inklusion-exklusion.

Vi börjar med att räkna hur många sätt det totalt finns att bära dessa kassar på. Vi ser då att det för varje kasse finns fyra händer att välja på, så isådanafall 47 sätt. I detta fall har vi helt klart räknat med för mycket, vi vill ju att ingen hand skall vara tomhänt...


Vi försöker subtrahera antalet sätt som vi kan distribuera kassar om en hand får vara tomhänt, Ordna händerna så att du kan tala om den första, resp. andra, tredje och fjärde handen. Om den första handen är tomhänt finns det 37 sätt at distribuera kassarna på, samma med den andra, tredje och fjärde handen.Så om vi betraktar 47437 kan vi frestas att tro att detta är antalet sätt att distribuera våra kassar på så att ingen hand är tomhänt. Men tänk om både den första handen och den andra handen är tomhänta? Vi subtraherade ju dessa två gånger, en gång I det första scenariot då hand nummer 1 var tom, och en annan gång då hand nummer 2 var tom. Alltså har vi subtraherat en gång för mycket. På liknande sätt, att hand nummer 2 och 3 är tomma har vi subtraherat bort 2 gånger, och samma för de andra händerna.


Vi försöker därmed lägga till dessa. Först väljer vi två händer som får vara tomma på 24=6  sätt. Det finns då 2^7 sätt att distribuera ut kassarna, om dessa två skall vara tomma. Så om vi adderar till det: 47437+627 , är vi då färdiga? Nej. För tänk om hand 1, 2 och 3 är tomma! I detta fall så har vi räknat med det en gång I 47, tre gånger I 437 (då hand 1 ,2 eller 3 är tom) , och tre gånger I 427 (då hand 1 och 2, eller hand 2 och 3, eller hand 1 och 3 är tomma). Sammanlagt har vi alltså räknat med detta 13+3=2+3=1 gånger. Men vi vill ju inte räkna med detta NÅGON gång. Alltså måste vi subtrahera I de fall då detta händer.


Antalet sätt som 3 händer kan vara tomma på är 34=4  . Det finns då 1 sätt att dela ut resten av kassarna på, ge det till den stackars handen som kvarstår. Alltså totalt 4 sätt som 3 händer kan vara tomma på och kassarna kan distribueras. Nu har vi alltså 47437+6274=8400 sätt. Detta är det slutliga resultatet.