Lösning 2.3.2
Förberedande kurs i matematik
| Rad 2: | Rad 2: | ||
Vi börjar med att räkna hur många sätt det totalt finns att bära dessa kassar på. Vi ser då att det för varje kasse finns fyra händer att välja på, så isådanafall <math> 4^7 </math> sätt. I detta fall har vi helt klart räknat med för mycket, vi vill ju att ingen hand skall vara tomhänt... | Vi börjar med att räkna hur många sätt det totalt finns att bära dessa kassar på. Vi ser då att det för varje kasse finns fyra händer att välja på, så isådanafall <math> 4^7 </math> sätt. I detta fall har vi helt klart räknat med för mycket, vi vill ju att ingen hand skall vara tomhänt... | ||
| + | |||
Vi försöker subtrahera antalet sätt som vi kan distribuera kassar om en hand får vara tomhänt, Ordna händerna så att du kan tala om den första, resp. andra, tredje och fjärde handen. Om den första handen är tomhänt finns det <math>3^7</math> sätt at distribuera kassarna på, samma med den andra, tredje och fjärde handen.Så om vi betraktar <math> 4^7-4 \cdot 3 ^7 </math> kan vi frestas att tro att detta är antalet sätt att distribuera våra kassar på så att ingen hand är tomhänt. Men tänk om både den första handen och den andra handen är tomhänta? Vi subtraherade ju dessa två gånger, en gång I det första scenariot då hand nummer 1 var tom, och en annan gång då hand nummer 2 var tom. Alltså har vi subtraherat en gång för mycket. På liknande sätt, att hand nummer 2 och 3 är tomma har vi subtraherat bort 2 gånger, och samma för de andra händerna. | Vi försöker subtrahera antalet sätt som vi kan distribuera kassar om en hand får vara tomhänt, Ordna händerna så att du kan tala om den första, resp. andra, tredje och fjärde handen. Om den första handen är tomhänt finns det <math>3^7</math> sätt at distribuera kassarna på, samma med den andra, tredje och fjärde handen.Så om vi betraktar <math> 4^7-4 \cdot 3 ^7 </math> kan vi frestas att tro att detta är antalet sätt att distribuera våra kassar på så att ingen hand är tomhänt. Men tänk om både den första handen och den andra handen är tomhänta? Vi subtraherade ju dessa två gånger, en gång I det första scenariot då hand nummer 1 var tom, och en annan gång då hand nummer 2 var tom. Alltså har vi subtraherat en gång för mycket. På liknande sätt, att hand nummer 2 och 3 är tomma har vi subtraherat bort 2 gånger, och samma för de andra händerna. | ||
| + | |||
Vi försöker därmed lägga till dessa. Först väljer vi två händer som får vara tomma på <math> {4 \choose 2} = 6 </math> sätt. Det finns då 2^7 sätt att distribuera ut kassarna, om dessa två skall vara tomma. Så om vi adderar till det: | Vi försöker därmed lägga till dessa. Först väljer vi två händer som får vara tomma på <math> {4 \choose 2} = 6 </math> sätt. Det finns då 2^7 sätt att distribuera ut kassarna, om dessa två skall vara tomma. Så om vi adderar till det: | ||
<math> 4^7-4 \cdot 3^7 + 6 \cdot 2^7 </math> , är vi då färdiga? Nej. För tänk om hand 1, 2 och 3 är tomma! I detta fall så har vi räknat med det en gång I <math> 4^7 </math>, tre gånger I <math> 4 \cdot 3^7 </math> (då hand 1 ,2 eller 3 är tom) , och tre gånger I <math> 4 \cdot 2^7 </math> (då hand 1 och 2, eller hand 2 och 3, eller hand 1 och 3 är tomma). Sammanlagt har vi alltså räknat med detta <math>1-3+3=-2+3=1 </math> gånger. Men vi vill ju inte räkna med detta NÅGON gång. Alltså måste vi subtrahera I de fall då detta händer. | <math> 4^7-4 \cdot 3^7 + 6 \cdot 2^7 </math> , är vi då färdiga? Nej. För tänk om hand 1, 2 och 3 är tomma! I detta fall så har vi räknat med det en gång I <math> 4^7 </math>, tre gånger I <math> 4 \cdot 3^7 </math> (då hand 1 ,2 eller 3 är tom) , och tre gånger I <math> 4 \cdot 2^7 </math> (då hand 1 och 2, eller hand 2 och 3, eller hand 1 och 3 är tomma). Sammanlagt har vi alltså räknat med detta <math>1-3+3=-2+3=1 </math> gånger. Men vi vill ju inte räkna med detta NÅGON gång. Alltså måste vi subtrahera I de fall då detta händer. | ||
| + | |||
Antalet sätt som 3 händer kan vara tomma på är <math> {4 \choose 3 }= 4 </math> . Det finns då 1 sätt att dela ut resten av kassarna på, ge det till den stackars handen som kvarstår. Alltså totalt 4 sätt som 3 händer kan vara tomma på och kassarna kan distribueras. Nu har vi alltså | Antalet sätt som 3 händer kan vara tomma på är <math> {4 \choose 3 }= 4 </math> . Det finns då 1 sätt att dela ut resten av kassarna på, ge det till den stackars handen som kvarstår. Alltså totalt 4 sätt som 3 händer kan vara tomma på och kassarna kan distribueras. Nu har vi alltså | ||
<math> 4^7-4 \dot 3^7 + 6 \cdot 2^7 - 4 = 8400 </math> sätt. Detta är det slutliga resultatet. | <math> 4^7-4 \dot 3^7 + 6 \cdot 2^7 - 4 = 8400 </math> sätt. Detta är det slutliga resultatet. | ||
Nuvarande version
Vi använder oss av någonting som kallas principen för inklusion-exklusion.
Vi börjar med att räkna hur många sätt det totalt finns att bära dessa kassar på. Vi ser då att det för varje kasse finns fyra händer att välja på, så isådanafall \displaystyle 4^7 sätt. I detta fall har vi helt klart räknat med för mycket, vi vill ju att ingen hand skall vara tomhänt...
Vi försöker subtrahera antalet sätt som vi kan distribuera kassar om en hand får vara tomhänt, Ordna händerna så att du kan tala om den första, resp. andra, tredje och fjärde handen. Om den första handen är tomhänt finns det \displaystyle 3^7 sätt at distribuera kassarna på, samma med den andra, tredje och fjärde handen.Så om vi betraktar \displaystyle 4^7-4 \cdot 3 ^7 kan vi frestas att tro att detta är antalet sätt att distribuera våra kassar på så att ingen hand är tomhänt. Men tänk om både den första handen och den andra handen är tomhänta? Vi subtraherade ju dessa två gånger, en gång I det första scenariot då hand nummer 1 var tom, och en annan gång då hand nummer 2 var tom. Alltså har vi subtraherat en gång för mycket. På liknande sätt, att hand nummer 2 och 3 är tomma har vi subtraherat bort 2 gånger, och samma för de andra händerna.
Vi försöker därmed lägga till dessa. Först väljer vi två händer som får vara tomma på \displaystyle {4 \choose 2} = 6 sätt. Det finns då 2^7 sätt att distribuera ut kassarna, om dessa två skall vara tomma. Så om vi adderar till det:
\displaystyle 4^7-4 \cdot 3^7 + 6 \cdot 2^7 , är vi då färdiga? Nej. För tänk om hand 1, 2 och 3 är tomma! I detta fall så har vi räknat med det en gång I \displaystyle 4^7 , tre gånger I \displaystyle 4 \cdot 3^7 (då hand 1 ,2 eller 3 är tom) , och tre gånger I \displaystyle 4 \cdot 2^7 (då hand 1 och 2, eller hand 2 och 3, eller hand 1 och 3 är tomma). Sammanlagt har vi alltså räknat med detta \displaystyle 1-3+3=-2+3=1 gånger. Men vi vill ju inte räkna med detta NÅGON gång. Alltså måste vi subtrahera I de fall då detta händer.
Antalet sätt som 3 händer kan vara tomma på är \displaystyle {4 \choose 3 }= 4 . Det finns då 1 sätt att dela ut resten av kassarna på, ge det till den stackars handen som kvarstår. Alltså totalt 4 sätt som 3 händer kan vara tomma på och kassarna kan distribueras. Nu har vi alltså
\displaystyle 4^7-4 \dot 3^7 + 6 \cdot 2^7 - 4 = 8400 sätt. Detta är det slutliga resultatet.
