Testsida2
Förberedande kurs i matematik
| Rad 150: | Rad 150: | ||
| + | ===Övning 1.9.4=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt $z=a+bi$ och $w=c+di$ vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer: | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>\real(z)=\real(\bar{z})</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>\im(z)=\im(\bar{z})</math> | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>\real(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})</math> | ||
| + | |d) | ||
| + | |<math>\bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}</math> | ||
| + | |e) | ||
| + | |<math>\bar{z}+\bar{w}=2\real(z)+2\real(w)-z-w</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e}} | ||
| + | |||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | \textbf{Lösningar} | ||
| + | \begin{enumerate}[(a)] | ||
| + | \item Sant, eftersom | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \real(z)&=\real(a+bi)=a\\ | ||
| + | \real(\bar{z})&=\real(a-bi)=a | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \item Falskt, eftersom | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \im(z)&=\im(a+bi)=b\\ | ||
| + | \im(\bar{z})&=\im(a-bi)=-b | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \item Sant, eftersom | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \frac{1}{2}(z+\bar{z})=\frac{1}{2}(a+bi+a-bi)=\frac{1}{2}(2a)=a=\real(z) | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \item Sant, eftersom | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \bar{z}+\bar{w}&=a-bi+c-di=(a+c)-(b+d)i=\overline{(a+c)+(b+d)i}=\overline{z+w} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \item Sant, eftersom | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | 2\real(z)+2\real(w)-z-w=2a+2c-a-bi-c-di=a-bi+c-di=\bar{z}+\bar{w} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \end{enumerate} | ||
===Övning 3.1.1=== | ===Övning 3.1.1=== | ||
Versionen från 18 juni 2012 kl. 13.45
Innehåll |
Övning 1.2.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} | b) | \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} | c) | \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} | d) | \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} | e) | \displaystyle \displaystyle 4^{1,5} |
Hämtar...Övning 1.2.2
Vilken är störst, \displaystyle 1343488^{3/2+4/3-17/6} eller \displaystyle 3/2?
Övning 1.2.3
Beräkna \displaystyle 2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}
Övning 1.4.1
Beräkna följande
| a) | 18 modulo 7 | b) | 345332233 modulo 2 | c) | 156 modulo 29 | d) | 334 modulo 10 |
Övning 1.4.2
Beräkna följande
| a) | \displaystyle 36+23 | b) | \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} | c) | \displaystyle 5^{345}+55 |
Övning 1.4.2
Beräkna följande
| a) | \displaystyle 36+23 | b) | \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} | c) | \displaystyle 5^{345}+55 |
Övning 1.5.1
Kovertera följande tal till bas 5.
| a) | \displaystyle 4 | b) | \displaystyle 5 | c) | \displaystyle 125 | d) | \displaystyle 68 |
Övning 1.5.2
Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.
Tips: Konvertera talen till bas 10.
Övning 1.8.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) | b) | \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i)) |
Övning 1.8.2
Vad är realdelen/imaginärdelen till
| a) | \displaystyle \displaystyle -1+5i | b) | \displaystyle \displaystyle -\pi i |
Övning 1.8.3
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.
Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?
Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.
Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!
Övning 1.8.4
Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?
Tips: Pröva att förlänga bråket med något!
Övning 1.9.2
Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.
Övning 1.9.3
Faktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle x^2+1 | b) | \displaystyle \displaystyle x^2+y^2 |
Övning 1.9.4
Låt $z=a+bi$ och $w=c+di$ vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
| a) | \displaystyle \real(z)=\real(\bar{z}) | b) | \displaystyle \im(z)=\im(\bar{z}) | c) | \displaystyle \real(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) | d) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w} | e) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\real(z)+2\real(w)-z-w |
\end{enumerate} \textbf{Lösningar} \begin{enumerate}[(a)]
\item Sant, eftersom
\begin{align*}
\real(z)&=\real(a+bi)=a\\
\real(\bar{z})&=\real(a-bi)=a \end{align*}
\item Falskt, eftersom
\begin{align*}
\im(z)&=\im(a+bi)=b\\
\im(\bar{z})&=\im(a-bi)=-b \end{align*}
\item Sant, eftersom
\begin{align*} \frac{1}{2}(z+\bar{z})=\frac{1}{2}(a+bi+a-bi)=\frac{1}{2}(2a)=a=\real(z) \end{align*}
\item Sant, eftersom
\begin{align*} \bar{z}+\bar{w}&=a-bi+c-di=(a+c)-(b+d)i=\overline{(a+c)+(b+d)i}=\overline{z+w} \end{align*}
\item Sant, eftersom
\begin{align*} 2\real(z)+2\real(w)-z-w=2a+2c-a-bi-c-di=a-bi+c-di=\bar{z}+\bar{w} \end{align*} \end{enumerate}
Övning 3.1.1
Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm
| a) | \displaystyle \displaystyle A\cup B | b) | \displaystyle \displaystyle A\cap B | c) | \displaystyle \displaystyle A\setminus B | d) | \displaystyle \displaystyle B \setminus A |
Övning 3.1.2
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
| a) | \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2. | |
| b) | \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.
\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}. | |
| c) | \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}. | |
| d) | \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)). | |
| e) | \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)). |
Övning 3.1.3
Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:
| a) | \displaystyle f |
| b) | \displaystyle g |
| c) | \displaystyle h(x) = f(g(x)). |
