Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösning 1.8.3a

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 11: Rad 11:
Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.
Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.
-
Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.
+
Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.
Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>

Versionen från 13 juni 2012 kl. 12.40

Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att a2+2abi−b2=i.

Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vänsterledet är a2−b2, och realdelen av högerledet är 0. Alltså vet vi att a2−b2=0.

Vi måste också ha att imaginärdelen av vänsterledet är lika med imaginärdelen av högerledet: vi får alltså att 2ab=1.

Då har vi fått ett ekvationssystem: a2−b2=0, och 2ab=1.

Från den första ekvationen får vi att a2=b2, och eftersom a och b är reella tal kan vi dra slutsatsen att a=b.

Stoppar vi in a=b i ekvationen 2ab=1 får vi att 2a2=1, vilket leder till att a=12. Stoppar vi in a=−b i ekvationen, får vi att −2a2=1, men då då måste a vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att a skulle vara reellt. Alltså är a=12 de enda potentiella lösningarna.

Detta leder till de fyra kandidatlösningarna 12+i2 , 12−i2 , −12+i2  och −12−i2 . Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att 12+i22=i , och att −12−i22=i .

Detta betyder att vi faktiskt kan skriva Missing \right

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_1.8.3a