Testsida2

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 42: Rad 42:
a)
a)
-
\begin{list}{}{}
+
 
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas.
+
-
\item Injektivitet: Nej, till exempel är <math>f(-1)=f(1)=1</math>.
+
-
\end{list}
+
b)
b)
\begin{list}{}{}
\begin{list}{}{}
-
\item Definitionsmängd:<math>\mathbb{R}_+</math>
+
 
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte <math>0</math> i värdemängden.
+
-
\item Injektivitet: Ja, om vi antar att <math>g(x_1)=g(x_2)</math> så följer <math>-x_1-3=-x_2-3</math> vilket innebär att <math>x_1=x_2.</math>
+
\end{list}
\end{list}
c)
c)
\begin{list}{}{}
\begin{list}{}{}
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math>
+
 
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}</math>.
+
-
\item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte.
+
-
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger.
+
\end{list}
\end{list}
d)
d)
\begin{list}{}{}
\begin{list}{}{}
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det.
+
 
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det.
+
-
\item Värdemängd: Vi har <math>r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9.</math> För de <math>x</math> där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in <math>0</math> får vi <math>9</math> vilket innebär att värdemängden är <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte <math>0</math> finns i värdemängden.
+
-
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela <math>\mathbb{R}</math> som definitionsmängd.
+
\end{list}
\end{list}
e)
e)

Versionen från 12 juni 2012 kl. 11.55

Övning 3.1.1

Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm

a) \displaystyle \displaystyle A\cup B b) \displaystyle \displaystyle A\cap B c) \displaystyle \displaystyle A\setminus B d) \displaystyle \displaystyle B \setminus A
Lösning a)
Lösning 3.1.1a
Lösning b)
Lösning 3.1.1b
Lösning c)
Lösning 3.1.1c
Lösning d)
Lösning 3.1.1d


Övning 3.1.2

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.

a) \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2.
b) \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.

\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.

c) \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}.
d) \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)).
e) \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)).
Lösning a)
Lösning 3.1.2.a
Lösning b)
Lösning 3.1.2b
Lösning c)
Lösning 3.1.2c
Lösning d)
Lösning 3.1.2d

a)

b) \begin{list}{}{}

\end{list} c) \begin{list}{}{}

\end{list} d) \begin{list}{}{}

\end{list} e) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x. Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva \displaystyle x. Värdemängden är alltså \displaystyle \mathbb{R}_+. \item Surjektivitet: Nej, Till exempel \displaystyle 0 antas inte. \item Injektivitet: Om vi antar att \displaystyle s(x_1)=s(x_2) så betyder det att \displaystyle x_1=x_2 och alltså är den injektiv. \end{list}

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Testsida2