Lösning 2.3.3 - Förberedande kurs i matematik

+                      Välkommen till kursen
                       
                        Hur går kursen till? 
                        Examination 
                        Studieplan 
                        Studietips 
                        Att skriva lösningar
                      
                    
                      Kursmaterial
                       
                        Kurslitteratur 
                        Inspelade föreläsningar 
                        Räkneövningar 
                        Inlämningsuppgift 5
                      
                    
                      Vanliga frågor
                                            
                    
                      Kontakta oss
                                            
                    
                    
		       Sök
		       
		         

                           
                            
			 
		       
		    
		    
		  
		  
		  
		    
		      
		        
			
			Lösning 2.3.3
			
			  Förberedande kurs i matematik
			  (Skillnad mellan versioner)
			  			                            Hoppa till: navigering, sök
                          
		          
			
			
			
			
			
			
				Versionen från 28 juni 2012 kl. 12.28 (redigera)
Samuel  (Diskussion | bidrag)
 (Ny sida: Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>. Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att <math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} =...)
← Gå till föregående ändring
				Nuvarande version (28 juni 2012 kl. 14.03) (redigera) (ogör)
Samuel  (Diskussion | bidrag) 
 
			
		Rad 1:
Rad 1:
- Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>. + Låt oss sätta
  +  
  + <math>\qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>.
  +  
 Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att  Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att
- <math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>. +  
- Nu, notera att eftersom <math> {n - k \choose k} = + <math>\qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>.
- {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math> så gäller att +  
- <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} = + Nu, notera att eftersom
- \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} = f_{n-1} + f_{n-2}</math>. Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet. +  
  + <math>\qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math>
  +  
  + så gäller att 
  +  
  + <math>\qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
  + \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}</math>.
  +  
  + Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet.
Nuvarande version
Låt oss sätta
\displaystyle \qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} .
Vi ser nu att \displaystyle f_0 = 1 , och att
\displaystyle \qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 .
Nu, notera att eftersom
\displaystyle \qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} 
så gäller att 
\displaystyle \qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}.
Men , eftersom att \displaystyle  f_0  var ju 1, och och \displaystyle  f_1  var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom \displaystyle  f_n = f_{n-1}+f_{n-2}  måste ju \displaystyle  f_n  vara det n+1 första Fibonaccitalet.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_2.3.3
+                      Välkommen till kursen
                       
                        Hur går kursen till? 
                        Examination 
                        Studieplan 
                        Studietips 
                        Att skriva lösningar
                      
                    
                      Kursmaterial
                       
                        Kurslitteratur 
                        Inspelade föreläsningar 
                        Räkneövningar 
                        Inlämningsuppgift 5
                      
                    
                      Vanliga frågor
                                            
                    
                      Kontakta oss
                                            
                    
                    
		       Sök
		       
		         

                           
                            
			 
		       
		    
		    
		  
		  
		  
		    
		      
		        
			
			Lösning 2.3.3
			
			  Förberedande kurs i matematik
			  (Skillnad mellan versioner)
			  			                            Hoppa till: navigering, sök
                          
		          
			
			
			
			
			
			
				Versionen från 28 juni 2012 kl. 12.28 (redigera)
Samuel  (Diskussion | bidrag)
 (Ny sida: Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>. Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att <math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} =...)
← Gå till föregående ändring
				Nuvarande version (28 juni 2012 kl. 14.03) (redigera) (ogör)
Samuel  (Diskussion | bidrag) 
 
			
		Rad 1:
Rad 1:
- Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>. + Låt oss sätta
  +  
  + <math>\qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>.
  +  
 Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att  Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att
- <math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>. +  
- Nu, notera att eftersom <math> {n - k \choose k} = + <math>\qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>.
- {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math> så gäller att +  
- <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} = + Nu, notera att eftersom
- \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} = f_{n-1} + f_{n-2}</math>. Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet. +  
  + <math>\qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math>
  +  
  + så gäller att 
  +  
  + <math>\qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
  + \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}</math>.
  +  
  + Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet.
Nuvarande version
Låt oss sätta
\displaystyle \qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} .
Vi ser nu att \displaystyle f_0 = 1 , och att
\displaystyle \qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 .
Nu, notera att eftersom
\displaystyle \qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} 
så gäller att 
\displaystyle \qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}.
Men , eftersom att \displaystyle  f_0  var ju 1, och och \displaystyle  f_1  var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom \displaystyle  f_n = f_{n-1}+f_{n-2}  måste ju \displaystyle  f_n  vara det n+1 första Fibonaccitalet.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_2.3.3
-                      Välkommen till kursen
                       
                        Hur går kursen till? 
                        Examination 
                        Studieplan 
                        Studietips 
                        Att skriva lösningar
                      
                    
                      Kursmaterial
                       
                        Kurslitteratur 
                        Inspelade föreläsningar 
                        Räkneövningar 
                        Inlämningsuppgift 5
                      
                    
                      Vanliga frågor
                                            
                    
                      Kontakta oss
                                            
                    
                    
		       Sök
+			Lösning 2.3.3
			
			  Förberedande kurs i matematik
			  (Skillnad mellan versioner)
			  			                            Hoppa till: navigering, sök
                          
		          
			
			
			
			
			
			
				Versionen från 28 juni 2012 kl. 12.28 (redigera)
Samuel  (Diskussion | bidrag)
 (Ny sida: Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>. Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att <math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} =...)
← Gå till föregående ändring
				Nuvarande version (28 juni 2012 kl. 14.03) (redigera) (ogör)
Samuel  (Diskussion | bidrag) 
 
			
		Rad 1:
Rad 1:
- Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>. + Låt oss sätta
  +  
  + <math>\qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>.
  +  
 Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att  Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att
- <math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>. +  
- Nu, notera att eftersom <math> {n - k \choose k} = + <math>\qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>.
- {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math> så gäller att +  
- <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} = + Nu, notera att eftersom
- \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} = f_{n-1} + f_{n-2}</math>. Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet. +  
  + <math>\qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math>
  +  
  + så gäller att 
  +  
  + <math>\qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
  + \sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}</math>.
  +  
  + Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet.
Nuvarande version
Låt oss sätta
\displaystyle \qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} .
Vi ser nu att \displaystyle f_0 = 1 , och att
\displaystyle \qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 .
Nu, notera att eftersom
\displaystyle \qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} 
så gäller att 
\displaystyle \qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}.
Men , eftersom att \displaystyle  f_0  var ju 1, och och \displaystyle  f_1  var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom \displaystyle  f_n = f_{n-1}+f_{n-2}  måste ju \displaystyle  f_n  vara det n+1 första Fibonaccitalet.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_2.3.3
@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-Låt oss sätta <math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>.
+Låt oss sätta
+<math>\qquad f_n = \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} </math>.
 Vi ser nu att <math>f_0 = 1 </math>, och att
-<math> f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>.
-Nu, notera att eftersom <math> {n - k \choose k} =
+<math>\qquad f_1 = \sum_{k=0}^1 {2-k \choose k} = {2 \choose 0} + {1 \choose 1} = 2 </math>.
-{n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math> så gäller att
-<math> f_n = \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =
+Nu, notera att eftersom
-\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} = f_{n-1} + f_{n-2}</math>. Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet.
+<math>\qquad{n - k \choose k} = {n - k-1 \choose k-1} + {n-k-1 \choose k} </math>
+så gäller att
+<math>\qquad\begin{align}f_n &= \sum_{k=0}^n {n-k-1 \choose k} =\\&= \sum_{k=0}^n {n-k-2 \choose k-1}+ {n - k-2 \choose k} =\\&=
+\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} + \sum_{k=0}^{n-2} {n -k-2 \choose k} =\\&= f_{n-1} + f_{n-2}\end{align}</math>.
+Men , eftersom att <math> f_0 </math> var ju 1, och och <math> f_1 </math> var 2, det andra resp. tredje fibonaccitalet. Men då , eftersom <math> f_n = f_{n-1}+f_{n-2} </math> måste ju <math> f_n </math> vara det n+1 första Fibonaccitalet.