Lösning 2.1.8a
Förberedande kurs i matematik
(Ny sida: Börja med att sätta <math> x = iy </math> och vi ser då att <math> p(iy) = 4i (iy)^3 - 12(iy)^2 +5i(iy)-15 = 4y^3 +12y^2-5y-15</math>. Vi letar nu efter rötterna till <math> p(iy) </ma...) |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
Börja med att sätta <math> x = iy </math> och vi ser då att | Börja med att sätta <math> x = iy </math> och vi ser då att | ||
| - | <math> p(iy) = 4i (iy)^3 - 12(iy)^2 +5i(iy)-15 = 4y^3 +12y^2-5y-15</math>. Vi letar nu efter rötterna till <math> p(iy) </math> för att sedan hitta rötterna till p(x). Vi använder nu satsen om rationella rötter för att notera att om rationella rötter finns, är de av formen <math> p/q </math> där p är någon av <math> \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 </math> och q är någon av <math> \pm 1, \pm 2 , \pm 4 </math>. Vi är lata och testar därmed enligt god praxis potentiella heltalsrötter, dvs. de då <math> q=1 </math>. Isådanafall ser vi att <math> -3 </math> är en rot. Nu, vi utför polynomdivision med <math> (x+3) </math> och ser att <math> p(iy) = (y+3) (y^2 + 9y-32) </math>. Nu så löser vi <math> y^2+9y-32 =0</math> och ser att lösningarna är (med kvadratkomplettering) <math> y = \pm \sqrt{5}/2 </math>. Men vi är ute efter rötterna till <math>p(x)</math> inte <math> p(iy) </math>. Så eftersom <math> x = iy </math> ser vi att rötterna är <math> x = -3i </math> och <math> x = \pm \sqrt{5}/2 </math>. | + | |
| + | <math>\qquad p(iy) = 4i (iy)^3 - 12(iy)^2 +5i(iy)-15 = 4y^3 +12y^2-5y-15</math>. | ||
| + | |||
| + | Vi letar nu efter rötterna till <math> p(iy) </math> för att sedan hitta rötterna till <math>p(x)</math>. Vi använder nu satsen om rationella rötter för att notera att om rationella rötter finns, är de av formen <math> p/q </math> där p är någon av <math> \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 </math> och q är någon av <math> \pm 1, \pm 2 , \pm 4 </math>. Vi är lata och testar därmed enligt god praxis potentiella heltalsrötter, dvs. de då <math> q=1 </math>. Isådanafall ser vi att <math> -3 </math> är en rot. Nu, vi utför polynomdivision med <math> (x+3) </math> och ser att <math> p(iy) = (y+3) (y^2 + 9y-32) </math>. Nu så löser vi <math> y^2+9y-32 =0</math> och ser att lösningarna är (med kvadratkomplettering) <math> y = \pm \sqrt{5}/2 </math>. Men vi är ute efter rötterna till <math>p(x)</math> inte <math> p(iy) </math>. Så eftersom <math> x = iy </math> ser vi att rötterna är <math> x = -3i </math> och <math> x = \pm i\sqrt{5}/2 </math>. | ||
Nuvarande version
Börja med att sätta \displaystyle x = iy och vi ser då att
\displaystyle \qquad p(iy) = 4i (iy)^3 - 12(iy)^2 +5i(iy)-15 = 4y^3 +12y^2-5y-15.
Vi letar nu efter rötterna till \displaystyle p(iy) för att sedan hitta rötterna till \displaystyle p(x). Vi använder nu satsen om rationella rötter för att notera att om rationella rötter finns, är de av formen \displaystyle p/q där p är någon av \displaystyle \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 och q är någon av \displaystyle \pm 1, \pm 2 , \pm 4 . Vi är lata och testar därmed enligt god praxis potentiella heltalsrötter, dvs. de då \displaystyle q=1 . Isådanafall ser vi att \displaystyle -3 är en rot. Nu, vi utför polynomdivision med \displaystyle (x+3) och ser att \displaystyle p(iy) = (y+3) (y^2 + 9y-32) . Nu så löser vi \displaystyle y^2+9y-32 =0 och ser att lösningarna är (med kvadratkomplettering) \displaystyle y = \pm \sqrt{5}/2 . Men vi är ute efter rötterna till \displaystyle p(x) inte \displaystyle p(iy) . Så eftersom \displaystyle x = iy ser vi att rötterna är \displaystyle x = -3i och \displaystyle x = \pm i\sqrt{5}/2 .
