Processing Math: 38%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Testsida2

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (28 juni 2012 kl. 12.28) (redigera) (ogör)
 
(32 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 81: Rad 81:
|<math>68</math>
|<math>68</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1a | Svar b)| Svar 1.5.1b | Svar c)| Svar 1.5.1c | Lösning a) | Lösning 1.5.1a | Lösning b)| Lösning 1.5.1b | Lösning c) | Lösning 1.5.1c}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1a | Svar b)| Svar 1.5.1b | Svar c)| Svar 1.5.1c | Svar d) | Svar 1.5.1d | Lösning a) | Lösning 1.5.1a | Lösning b)| Lösning 1.5.1b | Lösning c) | Lösning 1.5.1c | Lösning d) | Lösning 1.5.1d}}
-
 
+
-
 
+
-
\textbf{Svar.}
+
-
\begin{enumerate}[(a)]
+
-
\item $$
+
-
\item $$
+
-
\item $$
+
-
\item Vi har
+
-
\begin{align*}
+
-
68&=2\cdot25 + (68-2\cdot25) = 2\cdot2^2 + 18 = 2\cdot5^2 + 3\cdot5 + (18-3\cdot5)=\\
+
-
&=2\cdot5^2+3\cdot5^1+3 =2\cdot5^2+3\cdot5^1+3\cdot5^0
+
-
\end{align*}
+
-
Alltså får vi att $68_{10}=233$
+
-
\end{enumerate}
+
-
\textbf{Övning 2} Beräkna $1002_3-234_5$ och ge svaret i bas 8.\\
+
-
\textbf{Ledning.} Konvertera talen till bas 10.\\
+
-
\textbf{Lösning.} Vi börjar med att konvertera $1002_3$ och $234_5$ till bas 10 för att kunna utföra subtraktion. Vi får
+
-
\begin{align*}
+
-
1002_3=1\cdot3^3+0\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0=27+2=29
+
-
\end{align*}
+
-
och
+
-
\begin{align*}
+
-
234_5=2\cdot5^2+3\cdot5^1+4\cdot5^0=2\cdot25+3\cdot5+4=50+15+4=69
+
-
\end{align*}
+
-
Alltså får vi att
+
-
\begin{equation*}
+
-
1002_3-234_5=29-69=-40
+
-
\end{equation*}
+
-
40 i bas 8 är
+
-
\begin{align*}
+
-
40_{10}=5\cdot8=5\cdot8^1+0\cdot8^0=10_8
+
-
\end{align*}
+
-
Alltså blir svaret $1002_3-234_5=-10_8$.\\
+
-
\textbf{Svar.} $-10_8$
+
 +
===Övning 1.5.2===
 +
<div class="ovning">
 +
Beräkna <math>1002_3-234_5</math> och ge svaret i bas 8.
 +
Tips: Konvertera talen till bas 10.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.5.2a | Lösning | Lösning 1.5.2a}}
===Övning 1.8.1===
===Övning 1.8.1===
Rad 179: Rad 150:
 +
===Övning 1.9.4===
 +
<div class="ovning">
 +
Låt <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>\text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})</math>
 +
|-
 +
|b)
 +
| <math>\text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
| <math>\text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})</math>
 +
|-
 +
|d)
 +
|<math>\bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|<math>\bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e | Lösning a)| Lösning 1.9.4a | Lösning b) | Lösning 1.9.4b | Lösning c) | Lösning 1.9.4c | Lösning d) | Lösning 1.9.4d | Lösning e) | Lösning 1.9.4e}}
 +
 +
===Övning 2.1.2===
 +
<div class="ovning">
 +
Hur många reella rötter har följande polynom?
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>3x+2</math>
 +
|
 +
|b)
 +
| <math>x^2-2x-3</math>
 +
|
 +
|c)
 +
| <math>x^2+4x+5</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.2a | Svar b) | Svar 2.1.2b | Svar c) | Svar 2.1.2c | Lösning a)| Lösning 2.1.2a | Lösning b) | Lösning 2.1.2b | Lösning c) | Lösning 2.1.2c}}
 +
 +
===Övning 2.1.3===
 +
<div class="ovning">
 +
Är 3 ett polynom?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.3 | Lösning | Lösning 2.1.3}}
 +
 +
===Övning 2.1.4===
 +
<div class="ovning">
 +
Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till
 +
<math>x^2+ix</math>.
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.4 | Lösning a)| Lösning 2.1.4}}
 +
 +
 +
===Övning 2.1.5===
 +
<div class="ovning">
 +
Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>x^2-4</math>
 +
|
 +
|b)
 +
| <math>x^2-6x+9</math>
 +
|
 +
|c)
 +
| <math>x^3+4x^2+4x</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.5a | Svar b) | Svar 2.1.5b | Svar c) | Svar 2.1.5c | Lösning a)| Lösning 2.1.5a | Lösning b) | Lösning 2.1.5b | Lösning c) | Lösning 2.1.5c}}
 +
 +
===Övning 2.1.6===
 +
<div class="ovning">
 +
Lös ekvationen <math>-2x^2+10x=12</math> med hjälp av pq-formeln.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.6a | Lösning| Lösning 2.1.6a}}
 +
 +
===Övning 2.1.8===
 +
<div class="ovning">
 +
Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.8a | Lösning| Lösning 2.1.8a}}
 +
 +
===Övning 2.1.9===
 +
<div class="ovning">
 +
Förenkla <math> (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö) </math>
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a| Svar 2.1.9 | Lösning | Lösning 2.1.9}}
 +
 +
===Övning 2.2.1===
 +
<div class="ovning">
 +
Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.7a | Lösning| Lösning 2.1.7a}}
 +
 +
 +
===Övning 2.3.1===
 +
<div class="ovning">
 +
Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.1 | Lösning | Lösning 2.3.1}}
 +
 +
===Övning 2.3.2===
 +
<div class="ovning">
 +
Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså)
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.2 | Lösning | Lösning 2.3.2}}
 +
 +
===Övning 2.3.3===
 +
<div class="ovning">
 +
Låt oss definiera en talföljd som kallas Fibonaccitalen som följande. <math>a_0=1 </math> , <math> a_1 = 1 </math> och för att hitta nästa tal i följden, <math> a_2= a_1+a_0 =2</math>. Generellt så sätter vi att <math> a_n = a_{n-1}+a_{n-2} </math>. Bevisa nu att <math> \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} = a_{n+1} </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.3 | Lösning | Lösning 2.3.3}}
===Övning 3.1.1===
===Övning 3.1.1===

Nuvarande version

Innehåll

[göm]

Övning 1.2.1

Beräkna

a) 432  b) 813  c) 9−12  d) 025  e) 415

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Svar e) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d) | Lösning e)

Övning 1.2.2

Vilken är störst, 134348832+43−176  eller 32?

Svar | Lösning


Övning 1.2.3

Beräkna 22+1+362+(2+3)3+344470 

Svar | Lösning

Övning 1.4.1

Beräkna följande

a) 18 modulo 7 b) 345332233 modulo 2 c) 156 modulo 29 d) 334 modulo 10

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)

Övning 1.4.2

Beräkna följande

a) 36+23 b) 36129+2186(5282−100)  c) 5345+55

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)

Övning 1.4.2

Beräkna följande

a) 36+23 b) 36129+2186(5282−100)  c) 5345+55

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)

Övning 1.5.1

Kovertera följande tal till bas 5.

a) 4 b) 5 c) 125 d) 68

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)


Övning 1.5.2

Beräkna 10023−2345 och ge svaret i bas 8.

Tips: Konvertera talen till bas 10.

Svar | Lösning

Övning 1.8.1

Beräkna

a) (1+2i)2−i4  b) (3−2i)(4+i−(6−2i))

Lösning a) | Lösning b)

Övning 1.8.2

Vad är realdelen/imaginärdelen till

a) −1+5i b) −i

Lösning a) | Lösning b)


Övning 1.8.3

Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir −1, och därför införde man talet i, definierat som −1 .

Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad i  blir?

Inte riktigt: undersök ekvationen (a+bi)2=i, där a och b är reella tal.

Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!

Lösning

Övning 1.8.4

Vad blir i1 för något?

Tips: Pröva att förlänga bråket med något!

Lösning

Övning 1.9.2

Förkorta x2−4y2x2+4xy+4y2 så lång som möjligt.

Lösning

Övning 1.9.3

Faktorisera

a) \displaystyle \displaystyle x^2+1 b) \displaystyle \displaystyle x^2+y^2

Lösning a) | Lösning b)


Övning 1.9.4

Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:

a) \displaystyle \text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})
b) \displaystyle \text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})
c) \displaystyle \text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})
d) \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}
e) \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Svar d) | Svar e) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d) | Lösning e)

Övning 2.1.2

Hur många reella rötter har följande polynom?

a) \displaystyle 3x+2 b) \displaystyle x^2-2x-3 c) \displaystyle x^2+4x+5

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)

Övning 2.1.3

Är 3 ett polynom?

Svar | Lösning

Övning 2.1.4

Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till \displaystyle x^2+ix.

Svar a) | Lösning a)


Övning 2.1.5

Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.

a) \displaystyle x^2-4 b) \displaystyle x^2-6x+9 c) \displaystyle x^3+4x^2+4x

Svar a) | Svar b) | Svar c) | Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)

Övning 2.1.6

Lös ekvationen \displaystyle -2x^2+10x=12 med hjälp av pq-formeln.

Svar | Lösning

Övning 2.1.8

Låt \displaystyle p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15 . Hitta alla dess rötter.

Svar | Lösning

Övning 2.1.9

Förenkla \displaystyle (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö)

Svar a | Lösning

Övning 2.2.1

Låt \displaystyle x^2+ax+b vara ett polynom. Vad ska koefficienterna \displaystyle a och \displaystyle b vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet?

Svar | Lösning


Övning 2.3.1

Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?

Svar | Lösning

Övning 2.3.2

Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså)

Svar | Lösning

Övning 2.3.3

Låt oss definiera en talföljd som kallas Fibonaccitalen som följande. \displaystyle a_0=1 , \displaystyle a_1 = 1 och för att hitta nästa tal i följden, \displaystyle a_2= a_1+a_0 =2. Generellt så sätter vi att \displaystyle a_n = a_{n-1}+a_{n-2} . Bevisa nu att \displaystyle \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} = a_{n+1} .

Svar | Lösning

Övning 3.1.1

Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm

a) \displaystyle \displaystyle A\cup B b) \displaystyle \displaystyle A\cap B c) \displaystyle \displaystyle A\setminus B d) \displaystyle \displaystyle B \setminus A

Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)


Övning 3.1.2

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.

a) \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2.
b) \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.

\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.

c) \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}.
d) \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)).
e) \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)).

Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d) | Lösning e)


Övning 3.1.3

Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:

a) \displaystyle f
b) \displaystyle g
c) \displaystyle h(x) = f(g(x)).

Lösning a) | Lösning b) | Lösning c)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Testsida2