Processing Math: Done
Lösning 3.5.2a
Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
Rad 1: | Rad 1: | ||
Givet är <math> \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) </math>. Det första man bör notera är att problemet hade varit trivialt om vi haft <math>\sin(\arcsin(x))</math>. Finns det då något bra sätt att översätta cosinus till sinus, utan att ändra på argumentet? | Givet är <math> \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) </math>. Det första man bör notera är att problemet hade varit trivialt om vi haft <math>\sin(\arcsin(x))</math>. Finns det då något bra sätt att översätta cosinus till sinus, utan att ändra på argumentet? | ||
- | Vi försöker med trigonometriska ettan, där <math> \cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}</math> | + | Vi försöker med trigonometriska ettan, där <math> \cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}</math>. Detta verkar fungera bra, men vi vill ha bort det otrevliga <math>\pm </math>. Vi noterar att värdemängden för arcussinus är <math> [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] </math> och konstaterar (kanske genom att ta en titt på enhetscirkeln) att cosinus alltid är positivt på detta intervall. |
+ | |||
+ | Vi kan alltså låta <math> \cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)}</math> då <math> x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]</math>. | ||
+ | |||
+ | Detta leder till att: | ||
+ | |||
+ | <math> \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) = \sqrt{1-\sin^2(\arcsin(\frac{1}{3})}</math> | ||
+ | |||
+ | Vilket snabbt förenklas till: | ||
+ | |||
+ | <math> \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}</math> |
Nuvarande version
Givet är
Vi försöker med trigonometriska ettan, där 1−sin2(x)
2
2]
Vi kan alltså låta 1−sin2(x)
[−
2
2]
Detta leder till att:
1−sin2(arcsin(31)
Vilket snabbt förenklas till:
1−(31)2=
1−91=
98=32
2