Lösning 4.3.5
Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
(Ny sida: Vi har funktionen <math>y = arcsin(x)</math> och vet hur inversens derivata ser ut. Tag inversen av bägge sidorna: <math>sin(y) = x</math> Derivera sedan med avseende på x, och kom ih...) |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
<math> y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | <math> y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | ||
| + | |||
| + | I sista omskrivningen måste vi dock ta hänsyn till att cosinus värdemängd när funktionen är definierad på arcussinus värdemängd är positiv. | ||
Nuvarande version
Vi har funktionen \displaystyle y = arcsin(x) och vet hur inversens derivata ser ut.
Tag inversen av bägge sidorna:
\displaystyle sin(y) = x
Derivera sedan med avseende på x, och kom ihåg att y är en funktion av x, så att vi blir tvungna att använda kedjeregeln:
\displaystyle y'cos(y) = 1
\displaystyle y' = \frac{1}{cos(y)}
Substituera vårt uttryck för y:
\displaystyle y' = \frac{1}{cos(arcsin(x))}
Egentligen är vi nu färdiga, men om vi använder trigonometriska ettan för att skriva om svaret så får vi det på mer bekant form:
\displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
I sista omskrivningen måste vi dock ta hänsyn till att cosinus värdemängd när funktionen är definierad på arcussinus värdemängd är positiv.
