Lösning 3.5.2b

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (25 juli 2012 kl. 14.35) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Givet är <math> \sin(x)\tan(x) = \frac{1}{2}</math>. Första ansatsen bör vara att uttrycka allt i form av samma trigonometriska funktion. Vi använder att <math> \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math> vilket ger oss:
+
Givet är <math> \sin(x)\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Detta tal är lätt att gissa sig till om man är bekant med standardvinklar, men vi löser det ändå för att demonstrera hur det sett ut med krångligare värden. Första ansatsen bör vara att uttrycka allt i form av samma trigonometriska funktion. Vi använder att <math> \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math> vilket ger oss:
-
<math> \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin^2(x) = \frac{1}{2}\cos(x) </math>
+
<math> \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) </math>
Därefter kan vi använda trigonometriska ettan och få:
Därefter kan vi använda trigonometriska ettan och få:
-
<math> 1 - \cos^2(x) = \frac{1}{2}\cos(x) \Leftrightarrow \cos^2(x) + \frac{1}{2}\cos(x) -1 = 0 </math>
+
<math> 1 - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) \Leftrightarrow \cos^2(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) -1 = 0 </math>
-
Låt <math> \cos(x) = t \Rightarrow t^2 + \frac{1}{2}t -1 = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4},t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4} </math>
+
Låt <math> \cos(x) = t \Rightarrow t^2 + \frac{1}{\sqrt{2}}t -1 = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}},t_2 = -\sqrt{2} </math>
 +
 
 +
Men <math>t = \cos(x)</math> så om vi substituerar tillbaka detta får vi ekvationerna
 +
<math> \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n</math>
 +
 
 +
samt följande:
 +
 
 +
<math> \cos(x) = -\sqrt{2}</math>
 +
 
 +
som dock saknar reella lösningar.

Nuvarande version

Givet är \displaystyle \sin(x)\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}. Detta tal är lätt att gissa sig till om man är bekant med standardvinklar, men vi löser det ändå för att demonstrera hur det sett ut med krångligare värden. Första ansatsen bör vara att uttrycka allt i form av samma trigonometriska funktion. Vi använder att \displaystyle \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} vilket ger oss:

\displaystyle \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)

Därefter kan vi använda trigonometriska ettan och få:

\displaystyle 1 - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) \Leftrightarrow \cos^2(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) -1 = 0

Låt \displaystyle \cos(x) = t \Rightarrow t^2 + \frac{1}{\sqrt{2}}t -1 = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}},t_2 = -\sqrt{2}

Men \displaystyle t = \cos(x) så om vi substituerar tillbaka detta får vi ekvationerna \displaystyle \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n

samt följande:

\displaystyle \cos(x) = -\sqrt{2}

som dock saknar reella lösningar.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_3.5.2b