Lösning 3.4.1d

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: Det första vi gör är att precis som tidigare studera för vilka x som uttrycket inom absolutbelopp är negativt. Uttrycket <math> x^2 -3 </math> har rötter i 3 och -3, och är mellan de...)
Nuvarande version (24 juli 2012 kl. 10.50) (redigera) (ogör)
 
Rad 1: Rad 1:
-
Det första vi gör är att precis som tidigare studera för vilka x som uttrycket inom absolutbelopp är negativt. Uttrycket <math> x^2 -3 </math> har rötter i 3 och -3, och är mellan dessa rötter negativt. Alltså kan vi dela in uppgiften i två fall, ett då <math> -3 < x < 3 </math> och ett då <math> x \leq -3 </math> eller <math> 3 \leq x </math>.
+
Det första vi gör är att precis som tidigare studera för vilka x som uttrycket inom absolutbelopp är negativt. Uttrycket <math> x^2 -9 </math> har rötter i 3 och -3, och är mellan dessa rötter negativt. Alltså kan vi dela in uppgiften i två fall, ett då <math> -3 < x < 3 </math> och ett då <math> x \leq -3 </math> eller <math> 3 \leq x </math>.
 +
 
 +
Vi kan börja med fallet då uttrycket är positivt, alltså <math> x \leq -3 </math> eller <math> 3 \leq x </math>. Då kan vi skriva <math>|x^2 -9| = x^2 -9 </math>.
 +
 
 +
Vi erhåller ekvationen:
 +
 
 +
<math> x^2 -9 = 7 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4 </math>
 +
 
 +
Båda dess lösningar hör till våra tillåtna värden på x.
 +
 
 +
Ska uttrycket var negativt begränsar vi oss till <math> -3 < x < 3 </math>. Då gäller att <math>|x^2 -9| = -(x^2 -9) = 9 - x^2 </math>.
 +
 
 +
Vi erhåller ekvationen:
 +
 
 +
<math> 9 - x^2 = 7 \Leftrightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2} </math>
 +
 
 +
Båda dessa lösningar ligger på vårt tillåtna intervall.
 +
 
 +
Vi får alltså fyra lösningar till denna ekvation.

Nuvarande version

Det första vi gör är att precis som tidigare studera för vilka x som uttrycket inom absolutbelopp är negativt. Uttrycket \displaystyle x^2 -9 har rötter i 3 och -3, och är mellan dessa rötter negativt. Alltså kan vi dela in uppgiften i två fall, ett då \displaystyle -3 < x < 3 och ett då \displaystyle x \leq -3 eller \displaystyle 3 \leq x .

Vi kan börja med fallet då uttrycket är positivt, alltså \displaystyle x \leq -3 eller \displaystyle 3 \leq x . Då kan vi skriva \displaystyle |x^2 -9| = x^2 -9 .

Vi erhåller ekvationen:

\displaystyle x^2 -9 = 7 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4

Båda dess lösningar hör till våra tillåtna värden på x.

Ska uttrycket var negativt begränsar vi oss till \displaystyle -3 < x < 3 . Då gäller att \displaystyle |x^2 -9| = -(x^2 -9) = 9 - x^2 .

Vi erhåller ekvationen:

\displaystyle 9 - x^2 = 7 \Leftrightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}

Båda dessa lösningar ligger på vårt tillåtna intervall.

Vi får alltså fyra lösningar till denna ekvation.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_3.4.1d