Lösning 4.4.5e
Förberedande kurs i matematik
(Ny sida: Det första vi gör är att undersöka när uttrycket inom absolutbeloppstecken är negativt. Uttrycket <math> x^2 - 5x + 6 </math> kan skrivas som <math>(x-3)(x-2)</math>.) |
|||
| (3 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Det första vi gör är att undersöka när uttrycket inom absolutbeloppstecken är negativt. Uttrycket <math> x^2 - 5x + 6 </math> kan skrivas som <math>(x-3)(x-2)</math>. | + | Det första vi gör är att undersöka när uttrycket inom absolutbeloppstecken är negativt. Uttrycket <math> x^2 - 5x + 6 </math> kan skrivas som <math>(x-3)(x-2)</math>. Via ett snabbt teckenstudium ser vi att uttrycket är positivt när <math> x \leq 2 </math>, negativt när <math> 2 < x < 3</math> och positivt igen när <math> x \geq 3 </math>. Vi delar alltså in ekvationen i två delar; ett då uttrycket är positivt och ett då uttrycket är negativt. |
| + | |||
| + | Vi börjar med fallet då uttrycket är positivt, detta gäller då <math> x \leq 2</math> eller <math>x \geq 3</math>. Då kan vi sätta: <math>|x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6</math>. | ||
| + | |||
| + | Vi erhåller: | ||
| + | |||
| + | <math> x^2 - 5x + 6 = -2x + \frac{19}{4} \Leftrightarrow x^2 -3x + \frac{5}{4} = 0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2}) = 0 </math> | ||
| + | |||
| + | Rötterna blir alltså <math> x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{5}{2} </math> varav roten <math>x_2</math> inte ligger på något av de intervallen vi arbetar med (den ligger ju precis mitt i intervallet ]2, 3[) och måste därför förkastas. | ||
| + | |||
| + | Sedan fortsätter vi med fallet då uttrycket är negativt, alltså <math> 2 < x < 3 </math>. På detta intervall är uttrycket negativt, och för att få det positivt så räknar vi med <math>|x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6) </math>. | ||
| + | |||
| + | Vi får: | ||
| + | |||
| + | <math> -x^2 + 5x -6 = -2x + \frac{19}{4} \Leftrightarrow x^2 -7x + 43/4 = 0 </math> | ||
| + | |||
| + | <math> x_3 = \frac{7-\sqrt{6}}{2}, x_4 = \frac{7+\sqrt{6}}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | endast <math>x_3</math> ligger inom intervallet vi arbetar med, och vi förkastar alltså <math>x_4</math>. | ||
Nuvarande version
Det första vi gör är att undersöka när uttrycket inom absolutbeloppstecken är negativt. Uttrycket \displaystyle x^2 - 5x + 6 kan skrivas som \displaystyle (x-3)(x-2). Via ett snabbt teckenstudium ser vi att uttrycket är positivt när \displaystyle x \leq 2 , negativt när \displaystyle 2 < x < 3 och positivt igen när \displaystyle x \geq 3 . Vi delar alltså in ekvationen i två delar; ett då uttrycket är positivt och ett då uttrycket är negativt.
Vi börjar med fallet då uttrycket är positivt, detta gäller då \displaystyle x \leq 2 eller \displaystyle x \geq 3. Då kan vi sätta: \displaystyle |x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6.
Vi erhåller:
\displaystyle x^2 - 5x + 6 = -2x + \frac{19}{4} \Leftrightarrow x^2 -3x + \frac{5}{4} = 0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2}) = 0
Rötterna blir alltså \displaystyle x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{5}{2} varav roten \displaystyle x_2 inte ligger på något av de intervallen vi arbetar med (den ligger ju precis mitt i intervallet ]2, 3[) och måste därför förkastas.
Sedan fortsätter vi med fallet då uttrycket är negativt, alltså \displaystyle 2 < x < 3 . På detta intervall är uttrycket negativt, och för att få det positivt så räknar vi med \displaystyle |x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6) .
Vi får:
\displaystyle -x^2 + 5x -6 = -2x + \frac{19}{4} \Leftrightarrow x^2 -7x + 43/4 = 0
\displaystyle x_3 = \frac{7-\sqrt{6}}{2}, x_4 = \frac{7+\sqrt{6}}{2}
endast \displaystyle x_3 ligger inom intervallet vi arbetar med, och vi förkastar alltså \displaystyle x_4.
