Lösning 3.2.3d.

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> Värdemängd: <math>\mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}</math>. Surjektivitet: Nej, alla reella ant...)
Nuvarande version (13 juli 2012 kl. 16.28) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math>
+
Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det.
-
Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det.
-
Värdemängd: <math>\mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}</math>.
+
Värdemängd: Vi har <math>r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9.</math> För de <math>x</math> där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in <math>0</math> får vi <math>9</math> vilket innebär att värdemängden är <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.</math>
-
Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte.
+
Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte <math>0</math> finns i värdemängden.
-
Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger.
+
Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela <math>\mathbb{R}</math> som definitionsmängd.

Nuvarande version

Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det.

Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det.

Värdemängd: Vi har \displaystyle r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9. För de \displaystyle x där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in \displaystyle 0 får vi \displaystyle 9 vilket innebär att värdemängden är \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.

Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte \displaystyle 0 finns i värdemängden.

Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela \displaystyle \mathbb{R} som definitionsmängd.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/L%C3%B6sning_3.2.3d.