4.3 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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===Übung 4.3:1===
===Übung 4.3:1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine the angles <math>\,v\,</math> between <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> and <math>\,2\pi\,</math> which satisfy
+
Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,</math> der folgende Gleichungen erfüllt.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 22: Zeile 22:
===Übung 4.3:2===
===Übung 4.3:2===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine the angles <math>\,v\,</math> between 0 and <math>\,\pi\,</math> which satisfy
+
Bestimmen Sie die Winkeln <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math> die folgende Gleichungen erfüllen.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 33: Zeile 33:
===Übung 4.3:3===
===Übung 4.3:3===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Suppose that <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> and that <math>\,\sin{v} = a\,</math>. With the help of <math>\,a</math> express
+
Gegeben dass <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>, schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 54: Zeile 54:
===Übung 4.3:4===
===Übung 4.3:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Suppose that <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> and that <math>\,\cos{v}=b\,</math>. With the help of <math>\,b</math> express
+
Gegeben dass <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>, schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 75: Zeile 75:
===Übung 4.3:5===
===Übung 4.3:5===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine <math>\,\cos{v}\,</math> and <math>\,\tan{v}\,</math>, where <math>\,v\,</math> is an acute angle in a triangle such that <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math>.
+
Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein scharfer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
Zeile 82: Zeile 82:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
-
|width="100%" | Determine <math>\ \sin{v}\ </math> and <math>\ \tan{v}\ </math> if <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> and <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math> wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
|-
|-
|b)
|b)
-
|width="100%" | Determine <math>\ \cos{v}\ </math> and <math>\ \tan{v}\ </math> if <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> and <math>\,v\,</math> lies in the second quadrant.
+
|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math> wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
|-
|-
|c)
|c)
-
|width="100%" | Determine <math>\ \sin{v}\ </math> and <math>\ \cos{v}\ </math> if <math>\ \tan{v}=3\ </math> and <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math> wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
Zeile 94: Zeile 94:
===Übung 4.3:7===
===Übung 4.3:7===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> if
+
BestimmenSie <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
-
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> and <math>\,x\,</math>, <math> \,y\,</math> are angles in the first quadrant.
+
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> und <math>\,x\,</math> und <math> \,y\,</math> im ersten Quadrant liegen.
|-
|-
|b)
|b)
-
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> and <math>\,x\,</math>, <math>\,y\,</math> are angles in the first quadrant.
+
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> und <math>\,x\,</math> und <math>\,y\,</math> im ersten Quadrant liegen.
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:7|Lösung a |Lösung 4.3:7a|Lösung b |Lösung 4.3:7b}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:7|Lösung a |Lösung 4.3:7a|Lösung b |Lösung 4.3:7b}}
Zeile 106: Zeile 106:
===Übung 4.3:8===
===Übung 4.3:8===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Show the following trigonometric relations
+
Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 126: Zeile 126:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|
|
-
|width="100%" | Show Feynman's equality
+
|width="100%" | Zeigen Sie Feynmans Gleichheit
|-
|-
|
|
Zeile 132: Zeile 132:
|-
|-
|
|
-
|width="100%" |(Hint: use the formula for double angles on <math>\,\sin 160^\circ\,</math>.)
+
|width="100%" |(Hinweis: Gehen Sie von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}

Version vom 11:07, 5. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Übung 4.3:1

Bestimmen Sie den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,2\pi\, der folgende Gleichungen erfüllt.

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Antwort
Antwort 4.3:1
Lösung a
Lösung 4.3:1a
Lösung b
Lösung 4.3:1b
Lösung c
Lösung 4.3:1c

Übung 4.3:2

Bestimmen Sie die Winkeln \displaystyle \,v\, zwischen 0 und \displaystyle \,\pi\, die folgende Gleichungen erfüllen.

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Antwort
Antwort 4.3:2
Lösung a
Lösung 4.3:2a
Lösung b
Lösung 4.3:2b

Übung 4.3:3

Gegeben dass \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,\sin{v} = a\,, schreiben Sie folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,a.

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Antwort
Antwort 4.3:3
Lösung a
Lösung 4.3:3a
Lösung b
Lösung 4.3:3b
Lösung c
Lösung 4.3:3c
Lösung d
Lösung 4.3:3d
Lösung e
Lösung 4.3:3e
Lösung f
Lösung 4.3:3f

Übung 4.3:4

Gegeben dass \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, und \displaystyle \,\cos{v}=b\,, schreiben Sie folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,b

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Antwort
Antwort 4.3:4
Lösung a
Lösung 4.3:4a
Lösung b
Lösung 4.3:4b
Lösung c
Lösung 4.3:4c
Lösung d
Lösung 4.3:4d
Lösung e
Lösung 4.3:4e
Lösung f
Lösung 4.3:4f

Übung 4.3:5

Bestimmen Sie \displaystyle \,\cos{v}\, und \displaystyle \,\tan{v}\,, wenn \displaystyle \,v\, ein scharfer Winkel ist und \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\, ist.

Antwort
Antwort 4.3:5
Lösung
Lösung 4.3:5

Übung 4.3:6

a) Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestimmen Sie \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt.
c) Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Antwort
Antwort 4.3:6
Lösung a
Lösung 4.3:6a
Lösung b
Lösung 4.3:6b
Lösung c
Lösung 4.3:6c

Übung 4.3:7

BestimmenSie \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
Antwort
Antwort 4.3:7
Lösung a
Lösung 4.3:7a
Lösung b
Lösung 4.3:7b

Übung 4.3:8

Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her.

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösung a
Lösung 4.3:8a
Lösung b
Lösung 4.3:8b
Lösung c
Lösung 4.3:8c
Lösung d
Lösung 4.3:8d

Übung 4.3:9

Zeigen Sie Feynmans Gleichheit
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Hinweis: Gehen Sie von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.)
Lösung
Lösung 4.3:9
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