Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir verwenden das Additionstheorem und schreiben

\displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot\cos y + \cos x\cdot\sin y\,\textrm{.}

Genau wie in der vorherigen Übung verwenden wir den Satz des Pythagoras, um \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y durch \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y zu schreiben:

\displaystyle \begin{align} \sin x &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!x} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{4}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}\,,\\[5pt] \sin y &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!y} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{9}{25}} = \pm\frac{4}{5}\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem x und y im ersten Quadrant liegen, sind \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y beide positiv, also ist

\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{21}}{5}\qquad\text{und}\qquad\sin y = \frac{4}{5}\,\textrm{.}

Daher erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{21}+8}{25}\,\textrm{.}