4.3 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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===Übung 4.3:1===
===Übung 4.3:1===
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Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
+
Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
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|a)
|a)
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===Übung 4.3:2===
===Übung 4.3:2===
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Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
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Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
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|a)
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===Übung 4.3:3===
===Übung 4.3:3===
<div class="ovning">
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Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
+
Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
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|a)
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===Übung 4.3:4===
===Übung 4.3:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
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Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
+
Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
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|a)
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===Übung 4.3:5===
===Übung 4.3:5===
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Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
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Bestimme <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
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|a)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
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|b)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
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|width="100%" | Bestimme <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
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|c)
|c)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
|}
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</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
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===Übung 4.3:7===
===Übung 4.3:7===
<div class="ovning">
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Bestimmen Sie <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
+
Bestimme <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
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|a)
|a)
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===Übung 4.3:8===
===Übung 4.3:8===
<div class="ovning">
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Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her:
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Leite folgende trigonometrische Identitäten her:
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|a)
|a)
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|width="100%" | Zeigen Sie Feynmans Gleichheit
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|width="100%" | Zeige Feynmans Gleichheit
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|width="100%" |(Hinweis: Gehen Sie von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
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|width="100%" |(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
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</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}

Version vom 15:01, 28. Jul. 2009

       Theorie          Übungen      

Übung 4.3:1

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,2\pi\,, der folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Antwort
Antwort 4.3:1
Lösung a
Lösung 4.3:1a
Lösung b
Lösung 4.3:1b
Lösung c
Lösung 4.3:1c

Übung 4.3:2

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen 0 und \displaystyle \,\pi\,, der die folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Antwort
Antwort 4.3:2
Lösung a
Lösung 4.3:2a
Lösung b
Lösung 4.3:2b

Übung 4.3:3

Angenommen, \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,a.

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Antwort
Antwort 4.3:3
Lösung a
Lösung 4.3:3a
Lösung b
Lösung 4.3:3b
Lösung c
Lösung 4.3:3c
Lösung d
Lösung 4.3:3d
Lösung e
Lösung 4.3:3e
Lösung f
Lösung 4.3:3f

Übung 4.3:4

Angenommen, \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, und \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,b:

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Antwort
Antwort 4.3:4
Lösung a
Lösung 4.3:4a
Lösung b
Lösung 4.3:4b
Lösung c
Lösung 4.3:4c
Lösung d
Lösung 4.3:4d
Lösung e
Lösung 4.3:4e
Lösung f
Lösung 4.3:4f

Übung 4.3:5

Bestimme \displaystyle \,\cos{v}\, und \displaystyle \,\tan{v}\,, wenn \displaystyle \,v\, ein spitzer Winkel ist und \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\, ist.

Antwort
Antwort 4.3:5
Lösung
Lösung 4.3:5

Übung 4.3:6

a) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestimme \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt.
c) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ , wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Antwort
Antwort 4.3:6
Lösung a
Lösung 4.3:6a
Lösung b
Lösung 4.3:6b
Lösung c
Lösung 4.3:6c

Übung 4.3:7

Bestimme \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
Antwort
Antwort 4.3:7
Lösung a
Lösung 4.3:7a
Lösung b
Lösung 4.3:7b

Übung 4.3:8

Leite folgende trigonometrische Identitäten her:

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösung a
Lösung 4.3:8a
Lösung b
Lösung 4.3:8b
Lösung c
Lösung 4.3:8c
Lösung d
Lösung 4.3:8d

Übung 4.3:9

Zeige Feynmans Gleichheit
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.)
Lösung
Lösung 4.3:9
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