4.3 Übungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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===Übung 4.3:2=== | ===Übung 4.3:2=== | ||
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| - | Bestimmen Sie | + | Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt: |
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|a) | |a) | ||
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===Übung 4.3:3=== | ===Übung 4.3:3=== | ||
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| - | Angenommen, | + | Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>. |
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|a) | |a) | ||
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===Übung 4.3:4=== | ===Übung 4.3:4=== | ||
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| - | Angenommen, | + | Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>: |
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|a) | |a) | ||
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===Übung 4.3:5=== | ===Übung 4.3:5=== | ||
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| - | Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein | + | Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist. |
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| - | |width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math> wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>. | + | |width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>. |
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|b) | |b) | ||
| - | |width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math> wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt. | + | |width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt. |
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|c) | |c) | ||
| - | |width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math> wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>. | + | |width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>. |
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===Übung 4.3:8=== | ===Übung 4.3:8=== | ||
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| - | Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her | + | Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her: |
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|a) | |a) | ||
Version vom 13:52, 18. Jun. 2009
| Theorie | Übungen |
Übung 4.3:1
Bestimmen Sie den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,2\pi\,, der folgende Gleichung erfüllt:
| a) | \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} | b) | \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} | c) | \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}} |
Laden...Übung 4.3:2
Bestimmen Sie den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen 0 und \displaystyle \,\pi\,, der die folgende Gleichung erfüllt:
| a) | \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} | b) | \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}} |
Übung 4.3:3
Angenommen, \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,a.
| a) | \displaystyle \sin{(-v)} | b) | \displaystyle \sin{(\pi-v)} |
| c) | \displaystyle \cos{v} | d) | \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)} |
| e) | \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} | f) | \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)} |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Lösung e
Lösung f
Übung 4.3:4
Angenommen, \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, und \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,b:
| a) | \displaystyle \sin^2{v} | b) | \displaystyle \sin{v} |
| c) | \displaystyle \sin{2v} | d) | \displaystyle \cos{2v} |
| e) | \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} | f) | \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Lösung e
Lösung f
Übung 4.3:5
Bestimmen Sie \displaystyle \,\cos{v}\, und \displaystyle \,\tan{v}\,, wenn \displaystyle \,v\, ein spitzer Winkel ist und \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\, ist.
Antwort
Lösung
Übung 4.3:6
| a) | Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,. |
| b) | Bestimmen Sie \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt. |
| c) | Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ , wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,. |
Übung 4.3:7
Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn
| a) | \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen. |
| b) | \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen. |
Übung 4.3:8
Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her:
| a) | \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v} |
| b) | \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v} |
| c) | \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u} |
| d) | \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v |
Übung 4.3:9
| Zeigen Sie Feynmans Gleichheit | |
| (Hinweis: Gehen Sie von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.) |
Lösung
