4.3 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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===Übung 4.3:1===
===Übung 4.3:1===
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Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
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Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
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===Übung 4.3:2===
===Übung 4.3:2===
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Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
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Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
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===Übung 4.3:3===
===Übung 4.3:3===
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Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
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Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
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|a)
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===Übung 4.3:4===
===Übung 4.3:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
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Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
+
Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
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|a)
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===Übung 4.3:5===
===Übung 4.3:5===
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Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
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Bestimme <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
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|b)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
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|c)
|c)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
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</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
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===Übung 4.3:7===
===Übung 4.3:7===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
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Bestimmen Sie <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
+
Bestimme <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
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|a)
|a)
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===Übung 4.3:8===
===Übung 4.3:8===
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Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her:
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Leite folgende trigonometrische Identitäten her:
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|width="100%" | Zeigen Sie Feynmans Gleichheit
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|width="100%" | Zeige Feynmans Gleichheit
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|width="100%" |(Hinweis: Gehen Sie von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
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|width="100%" |(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
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</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Übung 4.3:1

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,2\pi\,, der folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Antwort
Antwort 4.3:1
Lösung a
Lösung 4.3:1a
Lösung b
Lösung 4.3:1b
Lösung c
Lösung 4.3:1c

Übung 4.3:2

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen 0 und \displaystyle \,\pi\,, der die folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Antwort
Antwort 4.3:2
Lösung a
Lösung 4.3:2a
Lösung b
Lösung 4.3:2b

Übung 4.3:3

Angenommen, \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,a.

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Antwort
Antwort 4.3:3
Lösung a
Lösung 4.3:3a
Lösung b
Lösung 4.3:3b
Lösung c
Lösung 4.3:3c
Lösung d
Lösung 4.3:3d
Lösung e
Lösung 4.3:3e
Lösung f
Lösung 4.3:3f

Übung 4.3:4

Angenommen, \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, und \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,b:

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Antwort
Antwort 4.3:4
Lösung a
Lösung 4.3:4a
Lösung b
Lösung 4.3:4b
Lösung c
Lösung 4.3:4c
Lösung d
Lösung 4.3:4d
Lösung e
Lösung 4.3:4e
Lösung f
Lösung 4.3:4f

Übung 4.3:5

Bestimme \displaystyle \,\cos{v}\, und \displaystyle \,\tan{v}\,, wenn \displaystyle \,v\, ein spitzer Winkel ist und \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\, ist.

Antwort
Antwort 4.3:5
Lösung
Lösung 4.3:5

Übung 4.3:6

a) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestimme \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt.
c) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ , wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Antwort
Antwort 4.3:6
Lösung a
Lösung 4.3:6a
Lösung b
Lösung 4.3:6b
Lösung c
Lösung 4.3:6c

Übung 4.3:7

Bestimme \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
Antwort
Antwort 4.3:7
Lösung a
Lösung 4.3:7a
Lösung b
Lösung 4.3:7b

Übung 4.3:8

Leite folgende trigonometrische Identitäten her:

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösung a
Lösung 4.3:8a
Lösung b
Lösung 4.3:8b
Lösung c
Lösung 4.3:8c
Lösung d
Lösung 4.3:8d

Übung 4.3:9

Zeige Feynmans Gleichheit
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.)
Lösung
Lösung 4.3:9


Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

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