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4.3 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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===Übung 4.3:1===
===Übung 4.3:1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,</math> der folgende Gleichungen erfüllt.
+
Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
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===Übung 4.3:2===
===Übung 4.3:2===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
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Bestimmen Sie die Winkeln <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math> die folgende Gleichungen erfüllen.
+
Bestimmen Sie den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
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===Übung 4.3:3===
===Übung 4.3:3===
<div class="ovning">
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Angenommen, dass <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>, schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
+
Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
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===Übung 4.3:4===
===Übung 4.3:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
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Angenommen, dass <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>, schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>
+
Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
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===Übung 4.3:5===
===Übung 4.3:5===
<div class="ovning">
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-
Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein scharfer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
+
Bestimmen Sie <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
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{| width="100%" cellspacing="10px"
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|a)
|a)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math> wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
|-
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|b)
|b)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math> wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
+
|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
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|c)
|c)
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math> wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
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|width="100%" | Bestimmen Sie <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
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===Übung 4.3:8===
===Übung 4.3:8===
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Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her.
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Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her:
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|a)
|a)

Version vom 13:52, 18. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Übung 4.3:1

Bestimmen Sie den Winkel v zwischen 2 und 2 der folgende Gleichung erfüllt:

a) cosv=cos5 b) sinv=sin7 c) tanv=tan72

Antwort | Lösung a | Lösung b | Lösung c

Übung 4.3:2

Bestimmen Sie den Winkel v zwischen 0 und , der die folgende Gleichung erfüllt:

a) cosv=cos23 b) cosv=cos57

Antwort | Lösung a | Lösung b

Übung 4.3:3

Angenommen, −2v2 und sinv=a. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit a.

a) sin(−v) b) sin(−v)
c) cosv d) sin2−v 
e) cos2+v  f) sin3+v 

Antwort | Lösung a | Lösung b | Lösung c | Lösung d | Lösung e | Lösung f

Übung 4.3:4

Angenommen, 0v und cosv=b. Schreiben Sie folgende Ausdrücke mit b:

a) sin2v b) sinv
c) sin2v d) cos2v
e) sinv+4  f) cosv−3 

Antwort | Lösung a | Lösung b | Lösung c | Lösung d | Lösung e | Lösung f

Übung 4.3:5

Bestimmen Sie cosv und tanv, wenn v ein spitzer Winkel ist und sinv=75 ist.

Antwort | Lösung

Übung 4.3:6

a) Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestimmen Sie \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt.
c) Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ , wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.

Antwort | Lösung a | Lösung b | Lösung c

Übung 4.3:7

Bestimmen Sie \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.

Antwort | Lösung a | Lösung b

Übung 4.3:8

Leiten Sie folgende trigonometrische Identitäten her:

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v

Lösung a | Lösung b | Lösung c | Lösung d

Übung 4.3:9

Zeigen Sie Feynmans Gleichheit
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Hinweis: Gehen Sie von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.)

Lösung

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