4.3 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #000" width="5px" |  
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-
{{Not selected tab|[[4.3 Trigonometric relations|Theorie]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[4.3 Trigonometric relations|Theorie]]}}
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{{Selected tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
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{{Gewählter Tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
Zeile 9: Zeile 9:
===Übung 4.3:1===
===Übung 4.3:1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine the angles <math>\,v\,</math> between <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> and <math>\,2\pi\,</math> which satisfy
+
Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 18: Zeile 18:
|width="33%" | <math>\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</math>
|width="33%" | <math>\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:1|Solution a |Solution 4.3:1a|Solution b |Solution 4.3:1b|Solution c |Solution 4.3:1c}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:1|Lösung a |Lösung 4.3:1a|Lösung b |Lösung 4.3:1b|Lösung c |Lösung 4.3:1c}}
===Übung 4.3:2===
===Übung 4.3:2===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine the angles <math>\,v\,</math> between 0 and <math>\,\pi\,</math> which satisfy
+
Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 29: Zeile 29:
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</math>
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:2|Solution a |Solution 4.3:2a|Solution b |Solution 4.3:2b}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:2|Lösung a |Lösung 4.3:2a|Lösung b |Lösung 4.3:2b}}
===Übung 4.3:3===
===Übung 4.3:3===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Suppose that <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> and that <math>\,\sin{v} = a\,</math>. With the help of <math>\,a</math> express
+
Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 50: Zeile 50:
|width="50%" | <math>\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</math>
|width="50%" | <math>\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:3|Solution a |Solution 4.3:3a|Solution b |Solution 4.3:3b|Solution c |Solution 4.3:3c|Solution d |Solution 4.3:3d|Solution e |Solution 4.3:3e|Solution f |Solution 4.3:3f}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:3|Lösung a |Lösung 4.3:3a|Lösung b |Lösung 4.3:3b|Lösung c |Lösung 4.3:3c|Lösung d |Lösung 4.3:3d|Lösung e |Lösung 4.3:3e|Lösung f |Lösung 4.3:3f}}
===Übung 4.3:4===
===Übung 4.3:4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Suppose that <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> and that <math>\,\cos{v}=b\,</math>. With the help of <math>\,b</math> express
+
Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 71: Zeile 71:
|width="50%" | <math>\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</math>
|width="50%" | <math>\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:4|Solution a |Solution 4.3:4a|Solution b |Solution 4.3:4b|Solution c |Solution 4.3:4c|Solution d |Solution 4.3:4d|Solution e |Solution 4.3:4e|Solution f |Solution 4.3:4f}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:4|Lösung a |Lösung 4.3:4a|Lösung b |Lösung 4.3:4b|Lösung c |Lösung 4.3:4c|Lösung d |Lösung 4.3:4d|Lösung e |Lösung 4.3:4e|Lösung f |Lösung 4.3:4f}}
===Übung 4.3:5===
===Übung 4.3:5===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine <math>\,\cos{v}\,</math> and <math>\,\tan{v}\,</math>, where <math>\,v\,</math> is an acute angle in a triangle such that <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math>.
+
Bestimme <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Solution |Solution 4.3:5}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
===Übung 4.3:6===
===Übung 4.3:6===
Zeile 82: Zeile 82:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
-
|width="100%" | Determine <math>\ \sin{v}\ </math> and <math>\ \tan{v}\ </math> if <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> and <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
|-
|-
|b)
|b)
-
|width="100%" | Determine <math>\ \cos{v}\ </math> and <math>\ \tan{v}\ </math> if <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> and <math>\,v\,</math> lies in the second quadrant.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
|-
|-
|c)
|c)
-
|width="100%" | Determine <math>\ \sin{v}\ </math> and <math>\ \cos{v}\ </math> if <math>\ \tan{v}=3\ </math> and <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
+
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Solution a |Solution 4.3:6a|Solution b |Solution 4.3:6b|Solution c |Solution 4.3:6c}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
===Übung 4.3:7===
===Übung 4.3:7===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Determine <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> if
+
Bestimme <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
-
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> and <math>\,x\,</math>, <math> \,y\,</math> are angles in the first quadrant.
+
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> und <math>\,x\,</math> und <math> \,y\,</math> im ersten Quadrant liegen.
|-
|-
|b)
|b)
-
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> and <math>\,x\,</math>, <math>\,y\,</math> are angles in the first quadrant.
+
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> und <math>\,x\,</math> und <math>\,y\,</math> im ersten Quadrant liegen.
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:7|Solution a |Solution 4.3:7a|Solution b |Solution 4.3:7b}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:7|Lösung a |Lösung 4.3:7a|Lösung b |Lösung 4.3:7b}}
===Übung 4.3:8===
===Übung 4.3:8===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Show the following trigonometric relations
+
Leite folgende trigonometrische Identitäten her:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
Zeile 120: Zeile 120:
|width="100%" | <math>\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</math>
|width="100%" | <math>\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Solution a |Solution 4.3:8a|Solution b |Solution 4.3:8b|Solution c |Solution 4.3:8c|Solution d |Solution 4.3:8d}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung a |Lösung 4.3:8a|Lösung b |Lösung 4.3:8b|Lösung c |Lösung 4.3:8c|Lösung d |Lösung 4.3:8d}}
===Übung 4.3:9===
===Übung 4.3:9===
Zeile 126: Zeile 126:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|
|
-
|width="100%" | Show Feynman's equality
+
|width="100%" | Zeige Feynmans Gleichheit
|-
|-
|
|
Zeile 132: Zeile 132:
|-
|-
|
|
-
|width="100%" |(Hint: use the formula for double angles on <math>\,\sin 160^\circ\,</math>.)
+
|width="100%" |(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Solution |Solution 4.3:9}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Übung 4.3:1

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,2\pi\,, der folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Antwort
Antwort 4.3:1
Lösung a
Lösung 4.3:1a
Lösung b
Lösung 4.3:1b
Lösung c
Lösung 4.3:1c

Übung 4.3:2

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen 0 und \displaystyle \,\pi\,, der die folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Antwort
Antwort 4.3:2
Lösung a
Lösung 4.3:2a
Lösung b
Lösung 4.3:2b

Übung 4.3:3

Angenommen, \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,a.

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Antwort
Antwort 4.3:3
Lösung a
Lösung 4.3:3a
Lösung b
Lösung 4.3:3b
Lösung c
Lösung 4.3:3c
Lösung d
Lösung 4.3:3d
Lösung e
Lösung 4.3:3e
Lösung f
Lösung 4.3:3f

Übung 4.3:4

Angenommen, \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, und \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,b:

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Antwort
Antwort 4.3:4
Lösung a
Lösung 4.3:4a
Lösung b
Lösung 4.3:4b
Lösung c
Lösung 4.3:4c
Lösung d
Lösung 4.3:4d
Lösung e
Lösung 4.3:4e
Lösung f
Lösung 4.3:4f

Übung 4.3:5

Bestimme \displaystyle \,\cos{v}\, und \displaystyle \,\tan{v}\,, wenn \displaystyle \,v\, ein spitzer Winkel ist und \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\, ist.

Antwort
Antwort 4.3:5
Lösung
Lösung 4.3:5

Übung 4.3:6

a) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestimme \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt.
c) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ , wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Antwort
Antwort 4.3:6
Lösung a
Lösung 4.3:6a
Lösung b
Lösung 4.3:6b
Lösung c
Lösung 4.3:6c

Übung 4.3:7

Bestimme \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
Antwort
Antwort 4.3:7
Lösung a
Lösung 4.3:7a
Lösung b
Lösung 4.3:7b

Übung 4.3:8

Leite folgende trigonometrische Identitäten her:

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösung a
Lösung 4.3:8a
Lösung b
Lösung 4.3:8b
Lösung c
Lösung 4.3:8c
Lösung d
Lösung 4.3:8d

Übung 4.3:9

Zeige Feynmans Gleichheit
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.)
Lösung
Lösung 4.3:9


Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

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