4.3 Übungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samband|Teori]]}}
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-
===Övning 4.3:1===
+
===Übung 4.3:1===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Bestäm de vinklar <math>\,v\,</math> mellan <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> och <math>\,2\pi\,</math> som uppfyller
+
Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen <math>\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,2\pi\,,</math> der folgende Gleichung erfüllt:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)
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|width="33%" | <math>\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</math>
|width="33%" | <math>\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</math>
|}
|}
-
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:1|Lösning a |Lösning 4.3:1a|Lösning b |Lösning 4.3:1b|Lösning c |Lösning 4.3:1c}}
+
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:1|Lösung a |Lösung 4.3:1a|Lösung b |Lösung 4.3:1b|Lösung c |Lösung 4.3:1c}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:2===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestimme den Winkel <math>\,v\,</math> zwischen 0 und <math>\,\pi\,</math>, der die folgende Gleichung erfüllt:
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:2|Lösung a |Lösung 4.3:2a|Lösung b |Lösung 4.3:2b}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:3===
 +
<div class="ovning">
 +
Angenommen, <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> und <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,a</math>.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\sin{(-v)}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\sin{(\pi-v)}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v}</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|width="50%" | <math>\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}</math>
 +
|f)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:3|Lösung a |Lösung 4.3:3a|Lösung b |Lösung 4.3:3b|Lösung c |Lösung 4.3:3c|Lösung d |Lösung 4.3:3d|Lösung e |Lösung 4.3:3e|Lösung f |Lösung 4.3:3f}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:4===
 +
<div class="ovning">
 +
Angenommen, <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> und <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Schreibe folgende Ausdrücke mit <math>\,b</math>:
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\sin^2{v}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\sin{v}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>\sin{2v}</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>\cos{2v}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</math>
 +
|f)
 +
|width="50%" | <math>\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:4|Lösung a |Lösung 4.3:4a|Lösung b |Lösung 4.3:4b|Lösung c |Lösung 4.3:4c|Lösung d |Lösung 4.3:4d|Lösung e |Lösung 4.3:4e|Lösung f |Lösung 4.3:4f}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:5===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestimme <math>\,\cos{v}\,</math> und <math>\,\tan{v}\,</math>, wenn <math>\,v\,</math> ein spitzer Winkel ist und <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math> ist.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:5|Lösung |Lösung 4.3:5}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:6===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> und <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | Bestimme <math>\ \cos{v}\ </math> und <math>\ \tan{v}\ </math>, wenn <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> und <math>\,v\,</math> im zweiten Quadrant liegt.
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="100%" | Bestimme <math>\ \sin{v}\ </math> und <math>\ \cos{v}\ </math>, wenn <math>\ \tan{v}=3\ </math> und <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:6|Lösung a |Lösung 4.3:6a|Lösung b |Lösung 4.3:6b|Lösung c |Lösung 4.3:6c}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:7===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestimme <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> wenn
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> und <math>\,x\,</math> und <math> \,y\,</math> im ersten Quadrant liegen.
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> und <math>\,x\,</math> und <math>\,y\,</math> im ersten Quadrant liegen.
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 4.3:7|Lösung a |Lösung 4.3:7a|Lösung b |Lösung 4.3:7b}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:8===
 +
<div class="ovning">
 +
Leite folgende trigonometrische Identitäten her:
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
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|a)
 +
|width="100%" | <math>\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</math>
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | <math>\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="100%" | <math>\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</math>
 +
|-
 +
|d)
 +
|width="100%" | <math>\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung a |Lösung 4.3:8a|Lösung b |Lösung 4.3:8b|Lösung c |Lösung 4.3:8c|Lösung d |Lösung 4.3:8d}}
 +
 
 +
===Übung 4.3:9===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|
 +
|width="100%" | Zeige Feynmans Gleichheit
 +
|-
 +
|
 +
|width="100%" |<center> <math>\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}</math> </center>
 +
|-
 +
|
 +
|width="100%" |(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für <math>\,\sin 160^\circ\,</math> aus.)
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösung |Lösung 4.3:9}}
 +
 
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Übung 4.3:1

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,2\pi\,, der folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Antwort
Antwort 4.3:1
Lösung a
Lösung 4.3:1a
Lösung b
Lösung 4.3:1b
Lösung c
Lösung 4.3:1c

Übung 4.3:2

Bestimme den Winkel \displaystyle \,v\, zwischen 0 und \displaystyle \,\pi\,, der die folgende Gleichung erfüllt:

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Antwort
Antwort 4.3:2
Lösung a
Lösung 4.3:2a
Lösung b
Lösung 4.3:2b

Übung 4.3:3

Angenommen, \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, und \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,a.

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Antwort
Antwort 4.3:3
Lösung a
Lösung 4.3:3a
Lösung b
Lösung 4.3:3b
Lösung c
Lösung 4.3:3c
Lösung d
Lösung 4.3:3d
Lösung e
Lösung 4.3:3e
Lösung f
Lösung 4.3:3f

Übung 4.3:4

Angenommen, \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, und \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Schreibe folgende Ausdrücke mit \displaystyle \,b:

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Antwort
Antwort 4.3:4
Lösung a
Lösung 4.3:4a
Lösung b
Lösung 4.3:4b
Lösung c
Lösung 4.3:4c
Lösung d
Lösung 4.3:4d
Lösung e
Lösung 4.3:4e
Lösung f
Lösung 4.3:4f

Übung 4.3:5

Bestimme \displaystyle \,\cos{v}\, und \displaystyle \,\tan{v}\,, wenn \displaystyle \,v\, ein spitzer Winkel ist und \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\, ist.

Antwort
Antwort 4.3:5
Lösung
Lösung 4.3:5

Übung 4.3:6

a) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ und \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestimme \displaystyle \ \cos{v}\ und \displaystyle \ \tan{v}\ , wenn \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ und \displaystyle \,v\, im zweiten Quadrant liegt.
c) Bestimme \displaystyle \ \sin{v}\ und \displaystyle \ \cos{v}\ , wenn \displaystyle \ \tan{v}=3\ und \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Antwort
Antwort 4.3:6
Lösung a
Lösung 4.3:6a
Lösung b
Lösung 4.3:6b
Lösung c
Lösung 4.3:6c

Übung 4.3:7

Bestimme \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ wenn

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ und \displaystyle \,x\, und \displaystyle \,y\, im ersten Quadrant liegen.
Antwort
Antwort 4.3:7
Lösung a
Lösung 4.3:7a
Lösung b
Lösung 4.3:7b

Übung 4.3:8

Leite folgende trigonometrische Identitäten her:

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösung a
Lösung 4.3:8a
Lösung b
Lösung 4.3:8b
Lösung c
Lösung 4.3:8c
Lösung d
Lösung 4.3:8d

Übung 4.3:9

Zeige Feynmans Gleichheit
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Hinweis: Gehe von der Doppelwinkelfunktionen für \displaystyle \,\sin 160^\circ\, aus.)
Lösung
Lösung 4.3:9


Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest den Link zu den Prüfungen in Deiner Student Lounge.

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