Tips och lösning till övning 17.35

Tips 1

Vi gör den inledande observationen att båda baserna är ON-baser. Vi kan då utnyttja sats 16.48. Alltså \displaystyle T^{-1}=\displaystyle T^{t}. Vi söker \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} där \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}=\displaystyle TA_{\boldsymbol{f}}T^{t}

Tips 2

\displaystyle T klar så det återstår att söka \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} eller \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}. Känner vi den ena så kan vi räkna ut den andra via sambandet ovan.

Enklast är att söka \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är givna direkt.

Tips 3

Kolonnerna i \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} är bilderna av basvektorerna \displaystyle \boldsymbol{f}_1 respektive \displaystyle \boldsymbol{f}_2.

Lösning

Rita figur! Sätter vi \displaystyle x_2=t och löser ut \displaystyle x_1=-2t får vi linjensekvation på parameterform \displaystyle \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}{-2}\\1\end{pmatrix}.

Linjens riktningsvektor är alltså \displaystyle (2,-1)^t. Därmed är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}{-2}\\1\end{pmatrix} en normerad riktninigsvektor. Eftersom \displaystyle F är en ortogonal projektion på linjen, så kommer dess riktningsvektor att avbildas på sig själv, så att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. Vektorn \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och är därmed en normal till linjen, den avbildas på nollvektorn, dvs \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=\boldsymbol{0}.$Att$ \backslash boldsymbol\{f\}\_2$$ är en normal kan också utläsas ur linjensekvation, ty

Avbildningsmatrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} är därmed \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}. Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är ortogonala, så är dessa en bas för planet. Bassambandet \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1&2\\2&{-1}\end{pmatrix} och sambandet mellan matriserna ger att