Tips och lösning till övning 17.35

Tips 1

Vi gör den inledande observationen att båda baserna är ON-baser. Vi kan då utnyttja sats 16.48. Alltså \displaystyle T^{-1}=\displaystyle T^{t}. Vi söker \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} där \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}=\displaystyle TA_{\boldsymbol{f}}T^{t}

Tips 2

\displaystyle T klar så det återstår att söka \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} eller \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}. Känner vi den ena så kan vi räkna ut den andra via sambandet ovan.

Enklast är att söka \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är givna direkt.

Tips 3

Kolonnerna i \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} är bilderna av basvektorerna \displaystyle \boldsymbol{f}_1 respektive \displaystyle \boldsymbol{f}_2.

Den basvektor som är parallell med linjen avbildas på sig själv och den som är ortogonal mot linjen avbildas på nollvektorn. Rita gärna en figur!

Lösning

Rita figur! Sätter vi \displaystyle x_2=t och löser ut \displaystyle x_1=-2t får vi linjensekvation på parameterform \displaystyle \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}{-2}\\1\end{pmatrix}.

Linjens riktningsvektor är alltså \displaystyle (2,-1)^t. Därmed är \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}{2}\\-1\end{pmatrix} en normerad riktninigsvektor. Eftersom \displaystyle F är en ortogonal projektion på linjen, så kommer dess riktningsvektor att avbildas på sig själv, så att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}. Vektorn \displaystyle \boldsymbol{f}_1 är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och är därmed en normal till linjen, den avbildas på nollvektorn, dvs \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{0}. Att \displaystyle \boldsymbol{f}_1 är en normal kan också utläsas ur linjensekvation, ty

Avbildningsmatrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} är därmed \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}. Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är ortogonala, så är dessa en bas för planet. Bassambandet \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1&2\\2&{-1}\end{pmatrix} och sambandet mellan matriserna ger att