Tips och lösning till U 22.22b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Se a-uppgiften
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationen på matrisform blir
2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{t} .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=1 och \displaystyle \lambda_3=4 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\2\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 2\\1\\-2\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-1\end{array}\right) .
Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) och
\displaystyle T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1&2&-2\\2&1&2\\2&-2&-2\end{array}\right) är ortogonal. Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas
2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
-2y_1^2+y_2^2+4y_3^2=1.
Detta visar att ekvationen beskriver en enmantlad hyperbolid.
